Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 3 trang 29 trong Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những chuyên đề mới. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic và kèm theo các giải thích chi tiết để bạn có thể nắm vững kiến thức.

Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)

Đề bài

Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)

a) Tính \({S_1}\); \({S_2}\);\({S_3}\); \({S_4}\).

b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều 1

Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.

Lời giải chi tiết

a) \(n = 1 \Rightarrow 4n - 3 = 1;4n + 1 = 5 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{{1.5}} = \frac{1}{5}\);

\({S_2} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} = \frac{2}{9}\);

\({S_3} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} = \frac{3}{{13}}\);

b) Ta có:

\({S_1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{{4.1 + 1}};\)\({S_2} = \frac{2}{{4.2 + 1}};\)\({S_3} = \frac{3}{{4.3 + 1}};\)

Dự doán: \({S_n} = \frac{n}{{4.n + 1}}\)

Chứng minh:

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{{4.1 + 1}}\) đúng

Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

\({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4.(k + 1) + 1}}\) hay \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({S_k} = \frac{k}{{4.k + 1}}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4k - 3)(4k + 1)}} + \frac{1}{{[4(k + 1) - 3][4(k + 1) + 1]}}\\ = {S_k} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{k}{{4k + 1}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{k(4k + 5)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{(4k + 1)(k + 1)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Khởi đầu hành trình Toán THPT vững vàng với nội dung Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều trong chuyên mục bài tập toán 10 trên nền tảng tài liệu toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 10 hiện hành, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ củng cố kiến thức cốt lõi mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho các năm học tiếp theo và định hướng đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều: Hướng dẫn chi tiết

Bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các khái niệm như tập xác định, tập giá trị, đỉnh của parabol, và các phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc hai.

Phân tích đề bài

Trước khi bắt đầu giải bài, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Bài 3 thường yêu cầu học sinh:

Xác định hàm số bậc hai.
Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số.
Tìm tọa độ đỉnh của parabol.
Vẽ đồ thị hàm số.
Giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của hàm số bậc hai.

Lời giải chi tiết

Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử đề bài yêu cầu giải hàm số y = x² - 4x + 3.

Xác định hàm số: Hàm số đã cho là y = x² - 4x + 3, là một hàm số bậc hai với a = 1, b = -4, và c = 3.
Tập xác định: Vì hàm số bậc hai có tập xác định là R (tập hợp tất cả các số thực).
Tập giá trị: Vì a = 1 > 0, hàm số có tập giá trị là [y_min; +∞). Để tìm y_min, ta tính hoành độ đỉnh: x_đỉnh = -b / 2a = -(-4) / (2 * 1) = 2. Sau đó, thay x_đỉnh vào hàm số để tìm y_min: y_min = (2)² - 4(2) + 3 = -1. Vậy tập giá trị là [-1; +∞).
Tọa độ đỉnh: Tọa độ đỉnh của parabol là (x_đỉnh; y_min) = (2; -1).
Vẽ đồ thị: Để vẽ đồ thị, ta xác định một vài điểm thuộc đồ thị, ví dụ: điểm có tung độ bằng 0 (nghiệm của phương trình bậc hai), điểm có hoành độ bằng 0, và đỉnh của parabol.

Các dạng bài tập thường gặp

Ngoài việc giải hàm số bậc hai cơ bản, bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều còn có thể xuất hiện các dạng bài tập sau:

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm: Sử dụng điều kiện Δ > 0, Δ = 0, hoặc Δ < 0.
Tìm giá trị của tham số để hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó: Ví dụ, tìm m để hàm số y = x² - 2mx + m + 1 có tập giá trị là [0; +∞).
Ứng dụng hàm số bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế: Ví dụ, bài toán tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Mẹo giải bài tập hiệu quả

Để giải bài tập hàm số bậc hai một cách hiệu quả, bạn nên:

Nắm vững các khái niệm và công thức liên quan.
Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau.
Sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả.
Tham khảo các tài liệu học tập và lời giải trên mạng.

Kết luận

Bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập một cách nhanh chóng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!

Công thức	Mô tả
x_đỉnh = -b / 2a	Hoành độ đỉnh của parabol
y_min = -Δ / 4a	Tung độ đỉnh của parabol (khi a > 0)
Δ = b² - 4ac	Biệt thức của phương trình bậc hai