Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu và hiệu quả.
Giaibaitoan.com là địa chỉ tin cậy giúp các em học sinh giải quyết các bài toán Toán một cách nhanh chóng và chính xác.
Cho \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\) và \({T_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\), với \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Cho \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\) và \({T_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\), với \(n \in \mathbb{N}*\)
a) So sánh \({S_1}\) và \({T_1}\); \({S_2}\) và \({T_2}\);\({S_3}\) và \({T_3}\).
b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) \({S_1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\); \({T_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}} = \frac{3}{2}\)
Do đó \({S_1} = {T_1}\)
\({S_2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}\); \({T_2} = 2 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}\)
Do đó \({S_2} = {T_2}\)
\({S_3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}\); \({T_3} = 2 - \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}\)
Do đó \({S_3} = {T_3}\)
b) Dự doán: \({S_n} = {T_n}\) từ đó có công thức tính \({S_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\)
Chứng minh:
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({S_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}}\) đúng
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\({S_{k + 1}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({S_k} = 2 - \frac{1}{{{2^k}}}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = {S_k} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\\ = 2 - \frac{1}{{{2^k}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{2}{{{2^{k + 1}}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các tính chất cơ bản của tập hợp để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng là yếu tố then chốt để giải quyết thành công bài tập này.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng xem lại đề bài của bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều:
(Giả sử đề bài là: Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4} và B = {3, 4, 5, 6}. Hãy tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.)
Để giải bài tập này, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các phép toán trên tập hợp:
Dựa vào định nghĩa của các phép toán trên tập hợp, ta có thể giải bài tập như sau:
Để củng cố kiến thức về các phép toán trên tập hợp, các em có thể tự giải các bài tập tương tự với các tập hợp khác nhau. Ví dụ:
Cho C = {a, b, c, d} và D = {b, d, e, f}. Hãy tìm C ∪ D, C ∩ D, C \ D, D \ C.
Tập hợp là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như:
Bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều là một bài tập cơ bản giúp các em làm quen với các phép toán trên tập hợp. Việc nắm vững kiến thức này sẽ là nền tảng vững chắc cho các em học tập các môn Toán ở các lớp trên. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích và giúp các em giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức. Chúc các em học tập tốt!
