Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng nhau giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 50 và 51 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\)
Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là \({A_2}\left( {5;0} \right)\) và một đường tiệm cận là \(y = - 3x\)
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ 2 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)
+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có hypebol có đỉnh \({A_2}(a;0) = \left( {5;0} \right) \Rightarrow a = 5\)
+ Hypebol có đường tiệm cận là \(y = - 3x \Rightarrow \frac{b}{a} = 3 \Rightarrow b = 3a = 15\)
Vậy phương trình hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{15}^2}}} = 1\)
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\)
b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S - \left( {a;b} \right).\)
+ Hai đường thẳng PR và QS lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\) được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol (H)
Lời giải chi tiết:
a) Nếu điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) thì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì \(\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + 1 \Rightarrow {x^2} \ge {a^2} \ge \left[ \begin{array}{l}x \ge a\\x \le - a\end{array} \right.\)
b) Ta có: \(P\left( { - a;b} \right),R\left( {a; - b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {PR} = \left( {2a; - 2b} \right)\)
Chọn \(\left( {b;a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của PR, khi đó phương trình đường thẳng PR là: \(PR:b\left( {x + a} \right) + a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx + ay = 0\) hay \(PR:y = - \frac{b}{a}x\)
Ta có: \(Q\left( {a;b} \right),S - \left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {QS} = \left( { - 2a; - 2b} \right)\)
Chọn \(\left( {b; - a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của QS, khi đó phương trình đường thẳng QS là: \(QS:b\left( {x - a} \right) - a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx - ay = 0\) hay \(QS:y = \frac{b}{a}x\)
a) Quan sát điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng \(x \le - a\) hoặc \(x \ge a\)
b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S - \left( {a;b} \right).\)
+ Hai đường thẳng PR và QS lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\) được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol (H)
Lời giải chi tiết:
a) Nếu điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) thì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Vì \(\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \ge 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + 1 \Rightarrow {x^2} \ge {a^2} \ge \left[ \begin{array}{l}x \ge a\\x \le - a\end{array} \right.\)
b) Ta có: \(P\left( { - a;b} \right),R\left( {a; - b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {PR} = \left( {2a; - 2b} \right)\)
Chọn \(\left( {b;a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của PR, khi đó phương trình đường thẳng PR là: \(PR:b\left( {x + a} \right) + a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx + ay = 0\) hay \(PR:y = - \frac{b}{a}x\)
Ta có: \(Q\left( {a;b} \right),S - \left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {QS} = \left( { - 2a; - 2b} \right)\)
Chọn \(\left( {b; - a} \right)\) là 1 vector pháp tuyến của QS, khi đó phương trình đường thẳng QS là: \(QS:b\left( {x - a} \right) - a\left( {y - b} \right) = 0 \Leftrightarrow bx - ay = 0\) hay \(QS:y = \frac{b}{a}x\)
Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là \({A_2}\left( {5;0} \right)\) và một đường tiệm cận là \(y = - 3x\)
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ 2 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right)\)
+ Hai đường tiệm cận của hypebol (H) lần lượt có phương trình \(y = - \frac{b}{a}x,y = \frac{b}{a}x\)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có hypebol có đỉnh \({A_2}(a;0) = \left( {5;0} \right) \Rightarrow a = 5\)
+ Hypebol có đường tiệm cận là \(y = - 3x \Rightarrow \frac{b}{a} = 3 \Rightarrow b = 3a = 15\)
Vậy phương trình hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{15}^2}}} = 1\)
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều tập trung vào các kiến thức liên quan đến vectơ, bao gồm các khái niệm cơ bản, các phép toán trên vectơ, và ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương trình Toán học ở các lớp trên.
Bài tập 1 yêu cầu chúng ta thực hiện phép cộng hai vectơ. Để giải bài tập này, chúng ta cần hiểu rõ quy tắc cộng vectơ: cộng các thành phần tương ứng của hai vectơ. Ví dụ, nếu vectơ a = (x1, y1) và vectơ b = (x2, y2), thì vectơ a + b = (x1 + x2, y1 + y2).
Lời giải:
Bài tập 2 yêu cầu chúng ta thực hiện phép trừ hai vectơ. Tương tự như phép cộng, phép trừ vectơ cũng được thực hiện bằng cách trừ các thành phần tương ứng của hai vectơ. Ví dụ, nếu vectơ a = (x1, y1) và vectơ b = (x2, y2), thì vectơ a - b = (x1 - x2, y1 - y2).
Lời giải:
Bài tập 3 yêu cầu chúng ta tìm tọa độ của một điểm biết tọa độ của các vectơ liên quan. Để giải bài tập này, chúng ta cần sử dụng các công thức liên quan đến tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ. Ví dụ, nếu A(x1, y1) và B(x2, y2), thì vectơ AB = (x2 - x1, y2 - y1).
Lời giải:
Bài tập 4 yêu cầu chúng ta chứng minh một đẳng thức vectơ. Để chứng minh một đẳng thức vectơ, chúng ta có thể sử dụng các phép biến đổi vectơ, chẳng hạn như quy tắc cộng vectơ, quy tắc nhân vectơ với một số thực, và các tính chất của vectơ.
Lời giải:
Bài tập 5 là một bài tập tổng hợp, yêu cầu chúng ta vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một vấn đề thực tế. Để giải bài tập này, chúng ta cần phân tích bài toán, xác định các vectơ liên quan, và sử dụng các công thức và quy tắc phù hợp.
Lời giải:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và dễ hiểu này, bạn đã nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các bài tập trong mục 2 trang 50, 51 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
