Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 10. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng nhau giải quyết các bài tập trong mục 5 trang 53 và 54 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Viết phương trình chình tắc của đườn hypebol biết một tiêu điểm là \({F_2}(\sqrt 2 ;0)\) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là: \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (\(a > 0,b > 0\)).
+ Tiêu điểm \({F_2}(c;0) = (\sqrt 2 ;0) \Rightarrow c = \sqrt 2 \)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\) hay \(\frac{a}{e} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Mà \(e = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow a = 1.\) Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 1\)
Vậy PTCT của hypebol là \({x^2} - {y^2} = 1\)
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Xét đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\) (Hình 17), tính:
a) Khoảng cách \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right)\) từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\)
b) Tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Viết lại phương trình đưởng thẳng \({\Delta _1}\) ở dạng: \(x + 0y + \frac{a}{e} = 0\)
Với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\), ta có: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {x + 0y + \frac{a}{e}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}\)
b) Ta có: \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right| \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = e\)
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\).
Xét đường thẳng \({\Delta _1}:x = - \frac{a}{e}\) với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\) (Hình 17), tính:
a) Khoảng cách \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right)\) từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \({\Delta _1}\)
b) Tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Viết lại phương trình đưởng thẳng \({\Delta _1}\) ở dạng: \(x + 0y + \frac{a}{e} = 0\)
Với mỗi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right)\), ta có: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {x + 0y + \frac{a}{e}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}\)
b) Ta có: \(M{F_1} = \left| {a + ex} \right| \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)
Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d\left( {M,{\Delta _1}} \right)}} = e\)
Viết phương trình chình tắc của đườn hypebol biết một tiêu điểm là \({F_2}(\sqrt 2 ;0)\) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là: \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Phương pháp giải:
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (\(a > 0,b > 0\)).
+ Tiêu điểm \({F_2}(c;0) = (\sqrt 2 ;0) \Rightarrow c = \sqrt 2 \)
+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\) hay \(\frac{a}{e} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Mà \(e = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow a = 1.\) Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = 1\)
Vậy PTCT của hypebol là \({x^2} - {y^2} = 1\)
Mục 5 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều tập trung vào việc ứng dụng các kiến thức về vectơ trong hình học phẳng. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng các định lý, tính chất của vectơ để chứng minh các đẳng thức vectơ, giải quyết các bài toán liên quan đến hình học. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải toán là yếu tố then chốt để hoàn thành tốt các bài tập này.
Bài tập 1 yêu cầu chứng minh đẳng thức vectơ. Để giải bài tập này, bạn cần sử dụng các quy tắc cộng, trừ vectơ, quy tắc nhân với một số thực và các tính chất của vectơ. Hãy bắt đầu bằng việc phân tích các vectơ trong đẳng thức và tìm cách biểu diễn chúng thông qua các vectơ đã cho. Sau đó, áp dụng các quy tắc và tính chất để chứng minh đẳng thức.
Bài tập 2 thường liên quan đến việc tìm tọa độ của một điểm hoặc vectơ. Để giải bài tập này, bạn cần nắm vững công thức tính tọa độ của vectơ, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và các công thức liên quan đến phép biến hình. Hãy vẽ hình để minh họa bài toán và xác định các điểm, vectơ liên quan. Sau đó, áp dụng các công thức để tính toán tọa độ.
Bài tập 3 có thể yêu cầu chứng minh một điểm nằm trên một đường thẳng hoặc một đường tròn. Để giải bài tập này, bạn cần sử dụng các phương trình đường thẳng, đường tròn và các điều kiện để một điểm nằm trên đường thẳng hoặc đường tròn. Hãy viết phương trình đường thẳng hoặc đường tròn và thay tọa độ của điểm vào phương trình để kiểm tra điều kiện.
Bài tập 4 thường là một bài toán tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau. Để giải bài tập này, bạn cần phân tích bài toán, xác định các kiến thức và kỹ năng cần sử dụng và lập kế hoạch giải quyết bài toán. Hãy chia bài toán thành các bước nhỏ hơn và giải quyết từng bước một. Sau đó, kết hợp các kết quả để đưa ra lời giải cuối cùng.
Vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong hình học phẳng, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán một cách dễ dàng và hiệu quả. Vectơ có thể được sử dụng để:
Hy vọng rằng, với những hướng dẫn chi tiết và lời giải cụ thể trong bài viết này, bạn đã có thể tự tin giải quyết các bài tập trong mục 5 trang 53, 54 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
