Giaibaitoan.com xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Định năm 2019 chính thức. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Đề thi được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo độ chính xác và tính cập nhật cao. Bên cạnh đề thi, chúng tôi còn cung cấp đáp án chi tiết và lời giải bài bản, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải từng dạng bài.
Câu 1 (2 điểm): 1. Giải phương trình
Câu 1 (2 điểm):
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Câu 2 (2 điểm):
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba đường thẳng \({d_1}:\,\,y = 2x - 1;\,\,\,{d_2}:\,\,y = x;\,\,\,{d_3}:\,\,\,\,y = - 3x + 2.\)
Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \({d_3}\) đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}.\)
Câu 3 (1,5 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được \(\dfrac{2}{3}\) công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R\) và một đường thẳng \(d\) không cắt đường tròn \(\left( O \right).\) Dựng đường thẳng \(OH\) vuông góc với đường thẳng \(d\) tại điểm \(H.\) Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(K\) (khác điểm \(H\)), qua \(K\) vẽ hai tiếp tuyến \(KA,KB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm) sao cho \(A\) và \(H\) nằm về hai phía của đường thẳng \(OK.\)
a) Chứng minh tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn
b) Đường thẳng \(AB\) cắt đường thẳng \(OH\) tại điểm \(I.\) Chứng minh rằng \(IA.IB = IH.IO\) và \(I\) là điểm cố định khi điểm \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Khi \(OK = 2R,OH = R\sqrt 3 .\) Tính diện tích tam giác \(KAI\) theo \(R.\)
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x > y\\xy = 1\end{array} \right.\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\)
Câu 1 (2 điểm):
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Câu 2 (2 điểm):
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba đường thẳng \({d_1}:\,\,y = 2x - 1;\,\,\,{d_2}:\,\,y = x;\,\,\,{d_3}:\,\,\,\,y = - 3x + 2.\)
Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \({d_3}\) đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}.\)
Câu 3 (1,5 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được \(\dfrac{2}{3}\) công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho đường tròn tâm \(O,\) bán kính \(R\) và một đường thẳng \(d\) không cắt đường tròn \(\left( O \right).\) Dựng đường thẳng \(OH\) vuông góc với đường thẳng \(d\) tại điểm \(H.\) Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(K\) (khác điểm \(H\)), qua \(K\) vẽ hai tiếp tuyến \(KA,KB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,B\) là các tiếp điểm) sao cho \(A\) và \(H\) nằm về hai phía của đường thẳng \(OK.\)
a) Chứng minh tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn
b) Đường thẳng \(AB\) cắt đường thẳng \(OH\) tại điểm \(I.\) Chứng minh rằng \(IA.IB = IH.IO\) và \(I\) là điểm cố định khi điểm \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Khi \(OK = 2R,OH = R\sqrt 3 .\) Tính diện tích tam giác \(KAI\) theo \(R.\)
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x > y\\xy = 1\end{array} \right.\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\)
Câu 1
Phương pháp:
1. Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế, đổi dấu.
2. a) Khi \(x = 5\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(A\) để tính giá trị biểu thức.
b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Cách giải:
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2 \Leftrightarrow 3x - 3 = 5x + 2\\ \Leftrightarrow 5x - 3x = - 3 - 2 \Leftrightarrow 2x = - 5 \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{2}.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \dfrac{5}{2}.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
Điều kiện: \(x \ge 1.\)
Khi \(x = 5\,\,\left( {tm\,\,\,x \ge 1} \right),\) thay vào biểu thức ta được:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {5 + 2\sqrt {5 - 1} } + \sqrt {5 - 2\sqrt {5 - 1} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 4 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 4 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2.2} + \sqrt {5 - 2.2} = \sqrt 9 + \sqrt 1 = 3 + 1 = 4.\end{array}\)
Vậy khi \(x = 5\) thì \(A = 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Điều kiện: \(1 \le x \le 2.\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,1 \le x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1} \le 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} - 1 \le 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\end{array}\)
Câu 2
Phương pháp:
1. Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình để tìm \(m\) sau đó thay ngược \(m\) vừa tìm được vào phương trình, giải phương trình để tìm nghiệm còn lại.
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Cách giải:
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình ta được:
\({2^2} - \left( {m - 1} \right).2 - m = 0 \Leftrightarrow 4 - 2m + 2 - m = 0 \Leftrightarrow 3m = 6 \Leftrightarrow m = 2.\)
Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được: \({x^2} - x - 2 = 0\)
Ta có các hệ số: \(a = 1;b = - 1;c = - 2 \Rightarrow a - b + c = 0\) Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt là: \({x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{c}{a} = 2\)
Vậy với \(m = 2\) phương trình đã cho có một nghiệm bằng 2.
Nghiệm còn lại của phương trình là: \(x = - 1\)
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)
Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow d:\,\,\,y = - 3x + b\,,\left( {b \ne 2} \right)\)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Đường thẳng \(d:\,\,y = - 3x + b\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) nên \(d\) đi qua \(A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;\,\,\,1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:
\(1 = - 3.1 + b \Leftrightarrow b = 1 + 3 = 4\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(d:\,\,\,y = - 3x + 4.\)
Câu 3:
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3: Kết luận
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội 1 là : \(x\) (giờ) \(\left( {x > 5} \right)\)
Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ.
Nên thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là: \(x - 5\) giờ.
Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được: \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)
Trong 1 giờ đội thứ hai làm riêng được: \(\dfrac{1}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được \(\dfrac{4}{x}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ hai làm được \(\dfrac{4}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ cả hai đội làm được: \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3}\) (công việc)
Giải phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 4.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}}} \right) = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 5 + x}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 5}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow 6\left( {2x - 5} \right) = x\left( {x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow 12x - 30 = {x^2} - 5x \Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {KTM} \right)\\x = 15\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội 1 là 15 giờ, thời gian hoàn thành công việc của đội hai là \(15 - 5 = 10\) (giờ).
Câu 4
Phương pháp:
a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc để suy ra hệ thức đúng.
Chứng minh \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) đồng dạng để suy ra điểm \(I\) cố định
c) Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác.
Cách giải:
a) Vì \(KA\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(AK \bot OA \Rightarrow \angle KAO = 90^\circ \)
Lại có \(\angle OHK = 90^\circ \,\,\left( {do\,\,\,\,OH \bot d} \right)\)
Xét tứ giác \(AOKH\) có \(\angle OAK + \angle OHK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OAKH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle OBK = 90^\circ \) (do \(KB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))
Từ đó ta có \(\angle OAK = \,\angle OBK = \angle OHK = 90^\circ \) nên 5 điểm \(A;O;B;H;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OK.\)
\( \Rightarrow \angle OAB = \angle OHB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OB\))
Xét \(\Delta IOA\) và \(\Delta IBH\) có
\(\angle OIA = \angle BIH\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle OAB = \angle OHB\) (cmt)
Xét đường tròn đường kính \(OK\) có:
\(\angle OHB\) là góc nội tiếp chắn cung \(OB\)
\(\angle OBA\) là góc nội tiếp chắn cung \(OA\)
Mà \(OA = OB = R.\)
\( \Rightarrow \angle OHB = \angle OBA\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) có
\(\begin{array}{l}\angle BOH\,\,\,chung\\\angle OHB = \angle OBA\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
Mà đường thẳng \(d\) cố định nên \(OH\) không đổi (vì \(OH \bot d\)).
\( \Rightarrow OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\) không đổi hay điểm \(I\) cố định khi \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(OK\) và \(AB\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(KA,KB\) là hai tiếp tuyến nên \(KA = KB\).
Lại có \(OA = OB = R\) nên \(OK\) là đường trung trực của \(AB\), suy ra \(AB \bot OK\) tại \(M.\)
\( \Rightarrow {S_{AKI}} = \dfrac{1}{2}AI.KM.\)
Theo câu b) ta có \(OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\)\( = \dfrac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }}\)
Xét tam giác \(OAK\) vuông tại \(A,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
+) \(O{A^2} = OM.OK \Leftrightarrow OM = \dfrac{{O{A^2}}}{{OK}} = \dfrac{{{R^2}}}{{2R}} = \dfrac{R}{2}.\)
Suy ra \(KM = OK - OM = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}.\)
+) \(A{M^2} = OM.KM = \dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow AM = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)
Xét tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có:
\(MI = \sqrt {O{I^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{R}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6}\)
Suy ra \(AI = AM + MI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta KAI}} = \dfrac{1}{2}KM.AI = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\) .
Vậy \({S_{\Delta KAI}} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 5
Phương pháp :
+ Biến đổi biểu thức P về dạng tổng và tích.
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.
Cách giải :
Với \(x > y;\,\,\,\,xy = 1\) ta có :
\(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2xy}}{{x - y}} = \left( {x - y} \right) + \dfrac{2}{{x - y}}\)
Vì \(x > y\) nên \(x - y > 0;\,\dfrac{2}{{x - y}} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x - y;\,\,\,\dfrac{2}{{x - y}}\) ta có :
\(\begin{array}{l}P = x - y + \dfrac{2}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{2}{{x - y}}} = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P \ge 2\sqrt 2 \end{array}\)
Dấu \( \Leftrightarrow x - y = \dfrac{2}{{x - y}} \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x - y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = y + \sqrt 2 \)
Mà \(x.y = 1 \Leftrightarrow \left( {y + \sqrt 2 } \right).y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Khi đó : \(x = \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\sqrt 2 \) tại \(x = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2};\,\,\,\,y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 1
Phương pháp:
1. Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế, đổi dấu.
2. a) Khi \(x = 5\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(A\) để tính giá trị biểu thức.
b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Cách giải:
1. Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2 \Leftrightarrow 3x - 3 = 5x + 2\\ \Leftrightarrow 5x - 3x = - 3 - 2 \Leftrightarrow 2x = - 5 \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{2}.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \dfrac{5}{2}.\)
2. Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\)
Điều kiện: \(x \ge 1.\)
Khi \(x = 5\,\,\left( {tm\,\,\,x \ge 1} \right),\) thay vào biểu thức ta được:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {5 + 2\sqrt {5 - 1} } + \sqrt {5 - 2\sqrt {5 - 1} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 4 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 4 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2.2} + \sqrt {5 - 2.2} = \sqrt 9 + \sqrt 1 = 3 + 1 = 4.\end{array}\)
Vậy khi \(x = 5\) thì \(A = 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Điều kiện: \(1 \le x \le 2.\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,1 \le x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1} \le 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} - 1 \le 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\end{array}\)
Câu 2
Phương pháp:
1. Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình để tìm \(m\) sau đó thay ngược \(m\) vừa tìm được vào phương trình, giải phương trình để tìm nghiệm còn lại.
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Cách giải:
1. Cho phương trình:\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình trên có một nghiệm bằng \(2.\) Tìm nghiệm còn lại.
Thay nghiệm \(x = 2\) vào phương trình ta được:
\({2^2} - \left( {m - 1} \right).2 - m = 0 \Leftrightarrow 4 - 2m + 2 - m = 0 \Leftrightarrow 3m = 6 \Leftrightarrow m = 2.\)
Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được: \({x^2} - x - 2 = 0\)
Ta có các hệ số: \(a = 1;b = - 1;c = - 2 \Rightarrow a - b + c = 0\) Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt là: \({x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{c}{a} = 2\)
Vậy với \(m = 2\) phương trình đã cho có một nghiệm bằng 2.
Nghiệm còn lại của phương trình là: \(x = - 1\)
2. Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b.\) Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right..\)
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,\,{d_2}.\) Thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng \(d\) để tìm \(b.\) Đối chiếu với điều kiện của \(b\) rồi kết luận phương trình đường thẳng \(d.\)
Gọi phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)
Đường thẳng \(d//{d_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow d:\,\,\,y = - 3x + b\,,\left( {b \ne 2} \right)\)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 1\\y = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Đường thẳng \(d:\,\,y = - 3x + b\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\) nên \(d\) đi qua \(A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;\,\,\,1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:
\(1 = - 3.1 + b \Leftrightarrow b = 1 + 3 = 4\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(d:\,\,\,y = - 3x + 4.\)
Câu 3:
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3: Kết luận
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội 1 là : \(x\) (giờ) \(\left( {x > 5} \right)\)
Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ.
Nên thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là: \(x - 5\) giờ.
Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được: \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)
Trong 1 giờ đội thứ hai làm riêng được: \(\dfrac{1}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được \(\dfrac{4}{x}\) (công việc)
Trong 4 giờ đội thứ hai làm được \(\dfrac{4}{{x - 5}}\) (công việc)
Trong 4 giờ cả hai đội làm được: \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3}\) (công việc)
Giải phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x - 5}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 4.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}}} \right) = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 5}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 5 + x}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 5}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow 6\left( {2x - 5} \right) = x\left( {x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow 12x - 30 = {x^2} - 5x \Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {KTM} \right)\\x = 15\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội 1 là 15 giờ, thời gian hoàn thành công việc của đội hai là \(15 - 5 = 10\) (giờ).
Câu 4
Phương pháp:
a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc để suy ra hệ thức đúng.
Chứng minh \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) đồng dạng để suy ra điểm \(I\) cố định
c) Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác.
Cách giải:
a) Vì \(KA\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(AK \bot OA \Rightarrow \angle KAO = 90^\circ \)
Lại có \(\angle OHK = 90^\circ \,\,\left( {do\,\,\,\,OH \bot d} \right)\)
Xét tứ giác \(AOKH\) có \(\angle OAK + \angle OHK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(OAKH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle OBK = 90^\circ \) (do \(KB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))
Từ đó ta có \(\angle OAK = \,\angle OBK = \angle OHK = 90^\circ \) nên 5 điểm \(A;O;B;H;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OK.\)
\( \Rightarrow \angle OAB = \angle OHB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OB\))
Xét \(\Delta IOA\) và \(\Delta IBH\) có
\(\angle OIA = \angle BIH\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle OAB = \angle OHB\) (cmt)
Xét đường tròn đường kính \(OK\) có:
\(\angle OHB\) là góc nội tiếp chắn cung \(OB\)
\(\angle OBA\) là góc nội tiếp chắn cung \(OA\)
Mà \(OA = OB = R.\)
\( \Rightarrow \angle OHB = \angle OBA\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét \(\Delta OIB\) và \(\Delta OBH\) có
\(\begin{array}{l}\angle BOH\,\,\,chung\\\angle OHB = \angle OBA\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
Mà đường thẳng \(d\) cố định nên \(OH\) không đổi (vì \(OH \bot d\)).
\( \Rightarrow OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\) không đổi hay điểm \(I\) cố định khi \(K\) chạy trên đường thẳng \(d\) cố định.
c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(OK\) và \(AB\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(KA,KB\) là hai tiếp tuyến nên \(KA = KB\).
Lại có \(OA = OB = R\) nên \(OK\) là đường trung trực của \(AB\), suy ra \(AB \bot OK\) tại \(M.\)
\( \Rightarrow {S_{AKI}} = \dfrac{1}{2}AI.KM.\)
Theo câu b) ta có \(OI = \dfrac{{{R^2}}}{{OH}}\)\( = \dfrac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \dfrac{R}{{\sqrt 3 }}\)
Xét tam giác \(OAK\) vuông tại \(A,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
+) \(O{A^2} = OM.OK \Leftrightarrow OM = \dfrac{{O{A^2}}}{{OK}} = \dfrac{{{R^2}}}{{2R}} = \dfrac{R}{2}.\)
Suy ra \(KM = OK - OM = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}.\)
+) \(A{M^2} = OM.KM = \dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow AM = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)
Xét tam giác \(OMI\) vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có:
\(MI = \sqrt {O{I^2} - O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{R}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6}\)
Suy ra \(AI = AM + MI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{R\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta KAI}} = \dfrac{1}{2}KM.AI = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\) .
Vậy \({S_{\Delta KAI}} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 5
Phương pháp :
+ Biến đổi biểu thức P về dạng tổng và tích.
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.
Cách giải :
Với \(x > y;\,\,\,\,xy = 1\) ta có :
\(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2xy}}{{x - y}} = \left( {x - y} \right) + \dfrac{2}{{x - y}}\)
Vì \(x > y\) nên \(x - y > 0;\,\dfrac{2}{{x - y}} > 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x - y;\,\,\,\dfrac{2}{{x - y}}\) ta có :
\(\begin{array}{l}P = x - y + \dfrac{2}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{2}{{x - y}}} = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P \ge 2\sqrt 2 \end{array}\)
Dấu \( \Leftrightarrow x - y = \dfrac{2}{{x - y}} \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x - y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x = y + \sqrt 2 \)
Mà \(x.y = 1 \Leftrightarrow \left( {y + \sqrt 2 } \right).y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y = 1 \Leftrightarrow {y^2} + \sqrt 2 y - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Khi đó : \(x = \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(2\sqrt 2 \) tại \(x = \dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2};\,\,\,\,y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}.\)
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tại Bình Định năm 2019 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Đề thi thường bao gồm các dạng bài tập thuộc chương trình Toán lớp 9, tập trung vào các chủ đề chính như Đại số, Hình học và số học. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để đạt kết quả tốt.
Đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2019 thường có cấu trúc gồm các phần sau:
Các chủ đề thường xuất hiện trong đề thi bao gồm:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về đề thi, chúng ta sẽ cùng phân tích một số câu hỏi điển hình:
Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Hãy giải phương trình này.
Lời giải: Phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 với a = 1, b = -5, c = 6. Tính delta (Δ) = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1. Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = (-b + √Δ) / 2a = (5 + 1) / 2 = 3
x2 = (-b - √Δ) / 2a = (5 - 1) / 2 = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 3 và x2 = 2.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi D là điểm trên BC sao cho BD = 1cm. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác ABC.
Lời giải: (Phần chứng minh tam giác đồng dạng cần trình bày chi tiết các bước và căn cứ vào các trường hợp đồng dạng).
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi vào 10 môn Toán, các em học sinh cần lưu ý những điều sau:
Giaibaitoan.com tự hào là một trong những website học toán online uy tín và chất lượng hàng đầu tại Việt Nam. Chúng tôi cung cấp đầy đủ các tài liệu ôn thi, đề thi thử và bài giảng chi tiết, giúp các em học sinh tự tin hơn trong kỳ thi vào 10 môn Toán. Hãy truy cập giaibaitoan.com để khám phá thêm nhiều tài liệu hữu ích khác!
Ngoài đề thi vào 10 môn Toán Bình Định năm 2019, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
