Giaibaitoan.com xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Yên Bái năm 2023 chính thức. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Chúng tôi cung cấp đầy đủ các đề thi, đáp án chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.
Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? A. \(y = \frac{1}{{{x^2}}} + 3\). B. \(y = 3{x^2} - 2\).
1.C | 2.A | 3.D | 4.D | 5.D | 6.A | 7.C | 8.B | 9.B | 10.A |
11.C | 12.C | 13.B | 14.A | 15.B | 16.C | 17.C | 18.C | 19.D | 20.D |
21.B | 22.D | 23.B | 24.D | 25.B | 26.C | 27.D | 28.C | 29.D | 30.A |
31.D | 32.A | 33.D | 34.D | 35.A | 36.D | 37.B | 38.B | 39.C | 40.B |
41.B | 42.B | 43.A | 44.C | 45.D | 46.B | 47.C | 48.C | 49.C | 50.C |
Câu 1 (NB):
Phương pháp:
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \(y = ax + b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 0\)
Cách giải:
Ta có: hàm số bậc nhất là \(y = 3x + 2\)
Chọn C.
Câu 2 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác
Cách giải:
Ta có tam giác ABC vuông tại \(A\), đường cao \(AH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in BC} \right)\)
Suy ra \(A{H^2} = BH.CH\)
Chọn A.
Câu 3 (NB):
Phương pháp:
Tổng các góc trong tứ giác bằng \(360^\circ \)
Cách giải:
Ta có: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 80^\circ + 110^\circ + 100^\circ + \angle D = 360^\circ }\\{ \Rightarrow \angle D = 360^\circ - 100^\circ - 110^\circ - 80^\circ }\\{ \Rightarrow \angle D = 70^\circ }\end{array}\)
Chọn D.
Câu 4 (NB):
Phương pháp:
Vị trí tương đối của hai đường tròn: hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất 2 điểm chung.
Cách giải:
Hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất 2 điểm chung
Chọn D.
Câu 5 (TH):
Phương pháp:
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 0\)
Cách giải:
Phương trình bậc hai một ẩn là \({x^2} - 2x - 3 = 0\)
Chọn D.
Câu 6 (TH):
Phương pháp:
Các góc lượng giác đặc biệt: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
Cách giải:
Ta có: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
Chọn A.
Câu 7 (NB):
Phương pháp:
Thay lần lượt cặp số \(\left( {1;2} \right)\) vào các phương trình
Cách giải:
Thay \(x = 1;y = 2\) vào \(3x + 2y = 7\) ta được: \(3.1 + 2.2 = 7\)
Do đó cặp số \(\left( {1;2} \right)\) là nghiệm của phương trình \(3x + 2y = 7\)
Chọn C.
Câu 8 (NB):
Phương pháp:
Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi rh\).
Thay \(r,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h\) vào công thức đã cho
Cách giải:
Ta có: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.3 = 12\pi \)(đvdt)
Chọn B.
Câu 9 (TH):
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng.
Cách giải:
Thay \(x = {\rm{ \;}} - 1;y = {\rm{ \;}} - 3\) vào đường thẳng \(y = 2x - 1\) ta được:\( - 3 = 2.\left( { - 1} \right) - 1\)
Do đó đường thẳng \(y = 2x - 1\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 3} \right)\)
Chọn B.
Câu 10 (NB):
Phương pháp:
Đưa về phương trình tích A.B = 0
Cách giải:
Ta có: \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\)
Chọn A.
Câu 11 (NB):
Phương pháp:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.
Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Cách giải:
Ta có: \(6 = 2.3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 9 = {3^2}\)
Do đó ước chung lớn nhất của \(6,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 9\) là 3
Chọn C.
Câu 12 (TH):
Phương pháp:
Tính chất của tam giác cân: Hai cạnh bên bằng nhau.
Cách giải:
Vì tam giác ABC cân tại \(A \Rightarrow AB = AC\)
Chọn C.
Câu 13 (TH):
Phương pháp:
Đường thẳng \(y = ax + b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\) có hệ số góc là \(a\)
Cách giải:
Hệ số góc \(a\) của đường thẳng \(y = 2x + 3\) là \(a = 2\)
Chọn B.
Câu 14 (NB):
Phương pháp:
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Cách giải:
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Chọn A.
Câu 15 (NB):
Phương pháp:
Tính giá trị biểu thức.
Cách giải:
Ta có: \(\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 5 = 3 + 5 = 8\)
Chọn B.
Câu 16 (NB):
Phương pháp:
Điều kiện xác định của hàm số \(\sqrt {f\left( x \right)} \) là \(f\left( x \right) \ge 0\)
Cách giải:
Điều kiện xác định của \(\sqrt {x - 10} \) là \(x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 10\)
Chọn C.
Câu 17 (TH):
Phương pháp:
Dây có độ dài lớn nhất của đường tròn là đường kính
Cách giải:
Dây có độ dài lớn nhất của đường tròn là đường kính
Đường kính của đường tròn \(\left( {O;12cm} \right)\) là 24cm
Chọn C.
Câu 18 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng: \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)
Cách giải:
Ta có: \({a^3}.{a^5} = {a^{3 + 5}} = {a^8}\)
Chọn C.
Câu 19 (NB):
Phương pháp:
Đặt nhân tử chung.
Cách giải:
Ta có: \({x^2} - 5x = x\left( {x - 5} \right)\)
Chọn D.
Câu 20 (NB):
Phương pháp:
Số đo cung nhỏ AB bằng góc ở tâm\(\angle AOB\)
Cách giải:
Xét (O) có: \(\angle AOB = 60^\circ \)
Suy ra số đo cung nhỏ AB là \(60^\circ \)
Chọn D.
Câu 21 (NB):
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bẳng phương pháp cộng đại số.
Cách giải:
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 5}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12x - 4y = 20}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{17x = 34}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{10 + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {2;1} \right)\)
Chọn B.
Câu 22 (NB):
Phương pháp:
Thay giá trị \(x = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = {\rm{ \;}} - 2\) vào các hàm số \(f\left( x \right)\)
Cách giải:
Xét \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\)
Ta có \(f(2) = \frac{{{2^2}}}{2} = 2;f( - 2) = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} = 2\)
Suy ra \(f\left( 2 \right) = f\left( { - 2} \right)\)
Chọn D.
Câu 23 (TH):
Phương pháp:
Thay tọa độ điểm \(\left( {1; - 1} \right)\) vào phương trình đường thẳng rồi tìm \(m\)
Cách giải:
Vì đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(P\left( {1; - 1} \right)\) nên \(m - 2 = {\rm{ \;}} - 1 \Rightarrow m = 1\)
Chọn B.
Câu 24 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng hệ thức Vi – ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)
Cách giải:
Ta có: \(\Delta {\rm{ \;}} = 9 - 4.2 = 1 > 0\). Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Áp dụng định lý Viete ta có \({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = 2\)
Chọn D.
Câu 25 (TH):
Phương pháp:
Gọi \(I\) là trung điểm của AB.
Sử dụng định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì
vuông góc với dây ấy.
Khi đó OI là khoảng cách từ O đến AB.
Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính OI
Cách giải:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\left( {cm} \right)\)
Vì tam giác OAB cân tại \(O \Rightarrow OI \bot AB\)
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác OIB:
\(OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} {\rm{ \;}} = 9\left( {cm} \right)\)
Vậy khoảng cách từ \(O\) đến dây AB là 9cm
Chọn B.
Câu 26 (TH):
Phương pháp:
Thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Cách giải:
Thể tích hình nón có chiều cao \(h = 2cm\) và bán kính đáy \(r = 3cm\) là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.2 = 6\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn C.
Câu 27 (TH):
Phương pháp:
Diện tích đường tròn có bán kính đáy \(R\) là \(S = \pi {R^2}\), từ đó tìm bán kính rồi tính chu vi của đường tròn
Cách giải:
Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn
Khi đó \(\pi {R^2} = 64\pi {\rm{ \;}} \Rightarrow R = 8\left( {cm} \right)\)
Chu vi đường tròn là \(C = 2\pi R = 2\pi .8 = 16\pi \left( {cm} \right)\)
Chọn D.
Câu 28 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng: \(\sin x{\rm{ \;}} = \cos \left( {90^\circ - x} \right)\)
Cách giải:
Ta có: \(\sin 25^\circ = \cos \left( {90^\circ - 25^\circ } \right) = \cos 65^\circ \)
Chọn C.
Câu 29 (TH):
Phương pháp:
Với \(a < 0,{\mkern 1mu} \sqrt {{a^2}} {\rm{ \;}} = \left| a \right| = {\rm{ \;}} - a\)
Cách giải:
Với \(a < 0,{\mkern 1mu} \sqrt {{a^2}} {\rm{ \;}} = \left| a \right| = {\rm{ \;}} - a\)
Khi đó \(P = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{2} + \frac{{3a}}{2} = \frac{{ - a}}{2} + \frac{{3a}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\)
Chọn D.
Câu 30 (TH):
Phương pháp:
Tìm các nghiệm của phương trình rồi tính tích.
Cách giải:
Ta có: \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{{x^2} - 4 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 2}\\{x = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.\)
Tích các nghiệm là \(1.2.\left( { - 2} \right) = {\rm{ \;}} - 4\)
Chọn A.
Câu 31 (TH):
Phương pháp:
Biểu diễn \(x\) theo \(y\) rồi thay vào phương trình \(2x - y = 8\)
Cách giải:
Vì \(\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}y\)
Khi đó \(3y - y = 8 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4\)
Chọn D.
Câu 32 (TH):
Phương pháp:
Rút gọn biểu thức, đưa một số ra ngoài dấu căn: \(\sqrt {{a^2}b} {\rm{ \;}} = a\sqrt b \)
Cách giải:
Ta có: \(A = 2\sqrt 3 a - \sqrt {48} a = 2\sqrt 3 a - 4\sqrt 3 a = {\rm{ \;}} - 2\sqrt 3 a\)
Chọn A.
Câu 33 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của tam giác cân và tính chất của góc ngoài
Cách giải:
Vì \(\Delta MOA\) cân tại \(O\) nên \(\angle OMA = \angle MAO\)
Ta có: \(\angle MOB = \angle OMA + \angle MAO = 2\angle OMA = 2.30^\circ = 60^\circ \)
Chọn D.
Câu 34 (TH):
Phương pháp:
Tìm các phần tử thuộc tập hợp \(M\)
Cách giải:
Ta có: \(n \in \mathbb{N}*,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \vdots 3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \le 30 \Rightarrow n \in \left\{ {3;6; \ldots ;30} \right\}\)
Khi đó \(M\) có 10 phần tử
Chọn D.
Câu 35 (TH):
Phương pháp:
Lập đường thẳng đi qua hai điểm, từ đó có hệ phương trình, giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.
Cách giải:
Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1;7} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + b = 1}\\{a + b = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a = 6}\\{a + b = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{2 + b = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 5}\end{array}} \right.\)
Hàm số cần tìm là \(y = 2x + 5\)
Chọn A.
Câu 36 (VD):
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm
- Tìm điều kiện để phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt
- Áp dụng định lý Vi-ét để giải điều kiện
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( P \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\): \({x^2} = \left( {m + 1} \right)x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2 = 0\)
\(\Delta {\rm{ \;}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8 > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \in \mathbb{R}\)
Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) với mọi \(m\)
Áp dụng định lý Viete ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 1}\\{{x_1}{x_2} = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = {x_1}^2 \Rightarrow {y_1}^2 = x_1^4}\\{{y_2} = {x_2}^2 \Rightarrow {y_2}^2 = x_2^4}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(x_1^4 - x_2^4 = 8\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 8\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)}\\{ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 - 8} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 8 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_1} \ne {x_2} \Rightarrow x_1^2 \ne x_2^2} \right)}\\{ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 8}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} = 8}\\{ \Rightarrow {{\left( {m + 1} \right)}^2} + 4 = 8}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {m + 1} \right)}^2} = 4}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 = 2}\\{m + 1 = - 2}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - 3}\end{array}} \right.}\end{array}\)
Tổng các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn là \(1 - 3 = {\rm{ \;}} - 2\)
Chọn D.
Câu 37 (TH):
Phương pháp:
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
- Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b > 0} \right)\)
- Lập hệ phương trình, tìm \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\)
Cách giải:
Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b > 0} \right)\)
Chu vi sân trường hình chữ nhật là \(300m \Rightarrow a + b = 150\) (1)
Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 50m nên \(2a - 3b = 50\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 150}\\{2a - 3b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a + 2b = 300}\\{2a - 3b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5b = 250}\\{2a - 3b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 50}\\{2a - 150 = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 50}\\{a = 100}\end{array}} \right.\)
Diện tích sân trường là \(S = 100.50 = 5000\left( {{m^2}} \right)\)
Chọn B.
Câu 38 (TH):
Phương pháp:
- Sử dụng tính chất của đường thẳng song song
- Sử dụng định lý tan trong tam giác
Cách giải:
Xét cấu trúc như hình trên: \(AB = 12,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM = 8,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle MED = 40^\circ \)
Ta có: \(DE\parallel MN \Rightarrow \angle HMN = \angle MED = 40^\circ \)
Xét tam giác HMN vuông tại \(N\) có:
\(HN = MN.\tan \angle HMN = 12.\tan 40^\circ \approx 10,07\)
Vậy chiều cao của cây là \(10,07 + 8 = 18,07\left( m \right)\)
Chọn B.
Câu 39 (TH):
Phương pháp:
- Chứng minh $\Delta MAC\backsim \Delta MDA$
- Tính MA
Cách giải:
Ta có: \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ AB nên
Lại có:
Suy ra \(\angle MAC = \angle MDA\)
Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDA\) có: \(\angle MAC = \angle MDA\); \(\angle AMD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} chung\)
$\Rightarrow \Delta MAC\backsim \Delta MDA(\text{g-g})$\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow M{A^2} = MC.MD = 9.16\)
\( \Rightarrow MA = 12(cm)\)
Chọn C.
Câu 40 (VD):
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ
- Đưa về phương trình tích
Cách giải:
ĐKXĐ: \({x^2} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le {\rm{ \;}} - 1}\end{array}} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} - 1} - {x^2} + 1 = 0}\\{ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} - \left( {{x^2} - 1} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} \left( {1 - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} - 1} = 0}\\{\sqrt {{x^2} - 1} = 1}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 = 0}\\{{x^2} - 1 = 1}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 1}\\{{x^2} = 2}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\\{x = \sqrt 2 }\\{x = - \sqrt 2 }\end{array}} \right.}\end{array}\)
Vậy tích các nghiệm là \(1.( - 1).\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right) = 2\)
Chọn B.
Câu 41 (VD):
Phương pháp:
Gọi H là giao điểm của AB và MO
Sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Py-ta-go để tính độ dài các đoạn thẳng.
Cách giải:
Gọi \(H\) là giao điểm của AB và MO
Xét (O) có 2 tiếp tuyến MA, MB cắt nhauu tại M nên \(MA = MB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OA = OB\)
Suy ra OM là đường trung trực của AB
Xét tam giác MAO vuông tại \(A\) có \(AH \bot MO:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \)
\( \Rightarrow O{A^2} = OH.OM \Rightarrow OH = \frac{{O{A^2}}}{{OM}} = \frac{{{2^2}}}{4} = 1\)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAH vuông tại \(H\):
\(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{2^2} - {1^1}} {\rm{ \;}} = \sqrt 3 \)
Do đó \(AB = 2AH = 2\sqrt 3 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\)
Chọn B.
Câu 42 (VD):
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Cách giải:
ĐKXĐ: \(x \ne y \ne 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{1}{{x + y}} - \frac{3}{{x - y}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{2}{{x + y}} - \frac{6}{{x - y}} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{7}{{x - y}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{7} = 3}\\{x - y = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} = \frac{{20}}{7}}\\{x - y = 7}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = \frac{7}{{10}}}\\{x - y = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{77}}{{20}}}\\{y = \frac{{ - 63}}{{20}}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Khi đó \(\frac{2}{7}{x_0} + \frac{2}{3}{y_0} = \frac{2}{7}.\frac{{77}}{{20}} - \frac{2}{3}.\frac{{63}}{{20}} = {\rm{ \;}} - 1\)
Chọn B.
Câu 43 (VD):
Phương pháp:
Tính góc A trong tam giác ABC.
Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABH vuông H.
Cách giải:
Ta có: \(\angle BAC = 180^\circ - 2\angle B = 180^\circ - 2.65^\circ = 50^\circ \) (do tam giác ABC cân tại \(A\))
Tam giác ABH vuông tại \(H\) nên \(AB = \frac{{BH}}{{\sin 50^\circ }} = \frac{4}{{\sin 50^\circ }} = 5,22\)
Diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BH.AB = \frac{1}{2}.4.5,22 = 10,44\) (đvdt)
Chọn A.
Câu 44 (VD):
Phương pháp:
- Gọi giao điểm của d với hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt là A, B
- Gọi OH vuông góc với AB tại H
- Tính \(OA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB\) rồi dùng hệ thức lượng tính OH
Cách giải:
Gọi \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với trục \(Ox,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} Oy\)
Khi đó \(A\left( {1 - m;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {0;m - 1} \right)\)
Suy ra \(OA = \left| {1 - m} \right|,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB = \left| {m - 1} \right|\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OAB vuông tại \(O\) có OH vuông góc với AB
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}}\\{ \Rightarrow OH = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}\end{array}\)
Từ giả thiết suy ra \(\frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {\rm{ \;}} \Rightarrow \left| {m - 1} \right| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 = 2}\\{m - 1 = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m = {\rm{ \;}} - 1}\end{array}} \right.\)
Mà \(m > 0 \Rightarrow m = 3\)
Chọn C.
Câu 45 (VD):
Phương pháp:
Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai
Cách giải:
\(\left( {{m^2}{x^2} + 4x + 1} \right)\left( {x - 2023} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2}{x^2} + 4x + 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\\{x = 2023}\end{array}} \right.\)
Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2023
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = 4 - {m^2} > 0}\\{2023{m^2} + 4.2023 + 1 \ne 0}\\{m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} < 4}\\{m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < m < 2}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)
Chọn D.
Câu 46 (VD):
Phương pháp:
Xác định giao điểm của hai đường thẳng.
Từ đó tính diện tích tam giác ABC.
Cách giải:
Ta có: \(A\left( { - 2;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {0;2} \right)\)
Tọa độ \(C\) là nghiệm của hệ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }\\{y = {\rm{ \;}} - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\)
Ta có: \(OC = 2\sqrt 3 \)
\(AB = OA + OB = 2 + 2 = 4\)
Diện tích tam giác ABC là \(\frac{1}{2}OC.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 3 .4 = 4\sqrt 3 \) (đvdt)
Chọn B.
Câu 47 (VDC):
Phương pháp:
Gọi F là giao điểm của AD và BC
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BP tại K, cắt CQ tại H
Áp dụng định lí Ta-ét suy ra ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Sử dụng các kiến thức tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Cách giải:
Gọi F là giao điểm của AD và BC
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BP tại K, cắt CQ tại H
Suy ra HK // MN // BC
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
Vì \(AK\parallel BF \Rightarrow \frac{{AK}}{{BF}} = \frac{{AD}}{{DF}}\)
Vì \(AH\parallel FC \Rightarrow \frac{{AH}}{{FC}} = \frac{{AD}}{{DF}}\)
\( \Rightarrow \frac{{AK}}{{BF}} = \frac{{AD}}{{DF}} = \frac{{AH}}{{FC}} = \frac{{AH + AK}}{{BF + FC}} = \frac{{HK}}{{BC}}\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Lại có: \(\frac{{AQ}}{{BQ}} = \frac{{AH}}{{BC}}\quad (AH\parallel BC)\)
\(\frac{{AP}}{{CP}} = \frac{{AK}}{{BC}}(AK\parallel BC)\)
\( \Rightarrow \frac{{AQ}}{{BQ}} + \frac{{AP}}{{CP}} = \frac{{AH}}{{BC}} + \frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DF}}\)
Mà \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AD}}{{DF}} = \frac{2}{3}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \frac{{AQ}}{{BQ}} + \frac{{AP}}{{CP}} = \frac{2}{3}}\\{ \Rightarrow \frac{{AQ}}{{BQ}} + 1 + \frac{{AP}}{{CP}} + 1 = \frac{2}{3} + 2}\\{ \Rightarrow \frac{{AB}}{{BQ}} + \frac{{AC}}{{CP}} = \frac{8}{3}}\\{ \Rightarrow \frac{4}{{BQ}} + \frac{4}{{CP}} = \frac{8}{3}}\\{ \Rightarrow \frac{1}{{BQ}} + \frac{1}{{CP}} = \frac{2}{3}}\end{array}\)
Chọn C.
Câu 48 (VD):
Phương pháp:
Gọi \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) với hai trục tọa độ Ox, Oy.
Biểu diễn diện tích tam giác OAB và tìm GTLN của biểu thức.
Cách giải:
Ta có: \(A\left( {0; - 1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {\frac{1}{{{m^2} + 2m + 3}};0} \right)\). Suy ra \(OA = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB = \frac{1}{{{m^2} + 2m + 3}}\)
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.1.\frac{1}{{{m^2} + 2m + 3}} = \frac{1}{{2\left( {{m^2} + 2m + 3} \right)}}\)
Ta có: \({m^2} + 2m + 3 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{{2\left( {{m^2} + 2m + 3} \right)}} \le \frac{1}{4}\)
Hay \({S_{OAB}} \le \frac{1}{4}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(m = {\rm{ \;}} - 1\)
Chọn C.
Câu 49 (VD):
Phương pháp:
- Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
- Sử dụng định lý Vi-ét
Cách giải:
Ta có: \(\Delta ' = 1 - \left( { - m + 5} \right) = m - 4\)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì \(m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4\)
Áp dụng định lý Viete ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{ \;}} - 2}\\{{x_1}{x_2} = {\rm{ \;}} - m + 5}\end{array}} \right.\)
Để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt thì \( - m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < 5\)
Kết hợp hai điều kiện trên ta được \(4 < m < 5\)
Chọn C.
Câu 50 (VDC):
Phương pháp:
Rút gọn vế trái rồi giải phương trình
Cách giải:
Ta có: \(\frac{9}{{x - \sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} + \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 5}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} = 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{9}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = 2\sqrt x + 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{9 + 2x + \sqrt x - 10 - x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = 2\sqrt x + 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = 2\sqrt x + 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = 2\sqrt x + 1\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) = \sqrt x \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - 4\sqrt x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 2\\ \Leftrightarrow {(\sqrt x - 1)^2} = 2\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x - 1 = \sqrt 2 }\\{\sqrt x - 1 = - \sqrt 2 (L)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \sqrt x = \sqrt 2 + 1\\ \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \end{array}\)
Vậy \(2a - b = 2.3 - 2 = 4\)
Chọn C.
Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất?
A. \(y = \frac{1}{{{x^2}}} + 3\).
B. \(y = 3{x^2} - 2\).
C. \(y = 3x + 2\).
D. \(y = 3{x^2} - 1\).
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại \(A\), đường cao \(AH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(A{H^2} = BH.CH\).
B. \(A{H^2} = B{H^2}.C{H^2}\).
C. \(AH = \frac{{BH}}{{CH}}\).
D. \(AH = BH.CH\).
Câu 3: Tứ giác ABCD có số đo \(\angle A = 80^\circ ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle B = 110^\circ ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle C = 100^\circ \). Số đo \(\angle D\) bằng:
A. \(100^\circ \).
B. \(80^\circ \).
C. \(110^\circ \).
D. \(70^\circ \).
Câu 4: Hai đường tròn phân biệt có số điểm chung nhiều nhất là
A. 1.
B. 0.
C. Vô số.
D. 2.
Câu 5: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?
A. \(2x - 3 = 0\).
B. \({x^4} - 2{x^2} = 0\).
C. \({x^3} + 3 = 0\).
D. \({x^2} - 2x - 3 = 0\).
Câu 6: Giá trị của \(\sin 30^\circ \) bằng
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
D. \(1\).
Câu 7: Cặp số \(\left( {1;2} \right)\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. \(3x - 2y = 7\).
B. \(3x + 2y = 8\).
C. \(3x + 2y = 7\).
D. \(3x - 2y = 8\).
Câu 8: Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi rh\). Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy \(r = 2\), chiều cao \(h = 3\) là:
A. \({S_{xq}} = 24\pi \)(đvdt)
B. \({S_{xq}} = 12\pi \)(đvdt)
C. \({S_{xq}} = 6\pi \)(đvdt)
D. \({S_{xq}} = 48\pi \)(đvdt)
Câu 9: Đường thẳng \(y = 2x - 1\) đi qua điểm nào sau đây?
A. \(Q\left( {1; - 1} \right)\).
B. \(M\left( { - 1; - 3} \right)\).
C. \(N\left( {1;3} \right)\).
D. \(P\left( { - 3; - 5} \right)\).
Câu 10: Tập nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) là:
A. \(\left\{ {1;3} \right\}\).
B. \(\left\{ {1; - 3} \right\}\).
C. \(\left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
D. \(\left\{ { - 1;3} \right\}\).
Câu 11: Ước chung lớn nhất của \(6\) và \(9\) là:
A. 9.
B. 6.
C. 3.
D. 18.
Câu 12: Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(AB < AC\).
B. \(AB \ne AC\).
C. \(AB = AC\).
D. \(AB > AC\).
Câu 13: Hệ số góc \(a\) của đường thẳng \(y = 2x + 3\) là
A. \(a = \frac{1}{2}\).
B. \(a = 2\).
C. \(a = \frac{1}{3}\).
D. \(a = 3\).
Câu 14: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là :
A. góc vuông.
B. góc tù.
C. góc nhọn.
D. góc bẹt.
Câu 15: Giá trị của biểu thức \(\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 5\) bằng
A. 14.
B. 8.
C. 6.
D. 4.
Câu 16: Điều kiện xác định của \(\sqrt {x - 10} \) là
A. \(x < 10\).
B. \(x < {\rm{ \;}} - 10\).
C. \(x \ge 10\).
D. \(x \ne 10\).
Câu 17: Cho đường tròn \(\left( {O;12cm} \right)\). Dây lớn nhất của đường tròn có độ dài bằng
A.\(48cm\).
B.\(144cm\).
C.\(24cm\).
D.\(12cm\).
Câu 18: Kết quả của phép tính \({a^3}.{a^5}\) bằng
A. \({a^7}\).
B. \({a^9}\).
C. \({a^8}\).
D. \({a^{10}}\).
Câu 19: Phân tích đa thức \({x^2} - 5x\) thành nhân tử ta được
A. \(x\left( {5 - x} \right)\).
B. \({x^2}\left( {x - 5} \right)\).
C. \(x\left( {x + 5} \right)\).
D. \(x\left( {x - 5} \right)\).
Câu 20: Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy hai điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) sao cho \(\angle AOB = 60^\circ \). Số đo cung nhỏ AB là:
A. \(30^\circ \).
B. \(90^\circ \).
C. \(120^\circ \).
D. \(60^\circ \).
Câu 21: Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 5}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right.\) có nghiệm là
A. \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
B. \(\left( {2;1} \right)\).
C. \(\left( {2; - 1} \right)\).
D. \(\left( { - 2;1} \right)\).
Câu 22: Hàm số nào sau đây thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = f\left( { - 2} \right)\)?
A. \(f\left( x \right) = \frac{{ - x + 1}}{2}\).
B. \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + 1\).
C. \(f\left( x \right) = {\rm{ \;}} - \frac{x}{2} + 2\).
D. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\).
Câu 23: Giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(P\left( {1; - 1} \right)\) là
A. \(m = {\rm{ \;}} - 1\).
B. \(m = 1\).
C. \(m = 3\).
D. \(m = {\rm{ \;}} - 3\).
Câu 24: Cho phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\). Tích các nghiệm của phương trình là:
A. \( - 2\).
B. \( - 3\).
C. \(3\).
D. \(2\).
Câu 25: Cho đường tròn \(\left( {O;15cm} \right)\), dây \(AB = 24cm\). Khoảng cách từ \(O\) đến dây AB là
A.\(8cm\).
B.\(9cm\).
C.\(12cm\).
D.\(10cm\).
Câu 26: Thể tích hình nón có chiều cao \(h = 2cm\) và bán kính đáy \(r = 3cm\) là
A. \(V = 8\pi c{m^3}\).
B. \(V = 12\pi c{m^3}\).
C. \(V = 6\pi c{m^3}\).
D. \(V = 4\pi c{m^3}\).
Câu 27: Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có diện tích bằng \(64\pi c{m^2}\). Chu vi của đường tròn là
A. 8cm
B. \(8\pi cm\)
C. 16cm
D. \(16\pi cm\)
Câu 28: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\sin 25^\circ = \tan 65^\circ \).
B. \(\sin 25^\circ = \cos 75^\circ \).
C. \(\sin 25^\circ = \cos 65^\circ \).
D. \(\sin 25^\circ = \cot 65^\circ \).
Câu 29: Cho \(a < 0\). Kết quả rút gọn biểu thức \(P = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{2} + \frac{{3a}}{2}\) là
A. 4a.
B. \(\frac{{3a}}{2}\).
C. 2a.
D. \(a\).
Câu 30: Tích các nghiệm của phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\) là
A. \( - 4\).
B. \(2\).
C. \(4\).
D. \( - 2\).
Câu 31: Biết \(\frac{x}{y} = \frac{3}{2}\) và \(2x - y = 8\). Khi đó giá trị của \(y\) là
A. \( - 6\).
B. \(6\).
C. \( - 4\).
D. \(4\).
Câu 32: Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 a - \sqrt {48} a\) ta được
A. \(A = {\rm{ \;}} - 6\sqrt 3 a\).
B. \(A = 2\sqrt 3 a\).
C. \(A = {\rm{ \;}} - 2\sqrt 3 a\).
D. \(A = 6\sqrt 3 a\).
Câu 33: Trong hình bên, biết \(\angle AMO = 30^\circ \). Số đo \(\angle MOB\) là
A. \(30^\circ \).
B. \(45^\circ \).
C. \(120^\circ \).
D. \(60^\circ \).
Câu 34: Tập hợp \(M = \left\{ {n \in \mathbb{N}*|n \vdots 3,n \le 30} \right\}\) có số phần tử là
A. 8.
B. 9.
C. 11.
D. 10.
Câu 35: Xác định hàm số \(y = ax + b\), biết đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1;7} \right)\)
A. \(y = 2x + 5\).
B. \(y = 3x + 7\).
C. \(y = 3x + 1\).
D. \(y = x + 3\).
Câu 36: Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng . Tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\left( P \right)\) và \(d\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho \(y_1^2 - y_2^2 = 8\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\) là
A. \( - 4\).
B. \(3\).
C. \(4\).
D. \( - 3\).
Câu 37: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 300m. Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 50m. Diện tích của sân trường là
A. \(300{m^2}\).
B. \(5000{m^2}\).
C. \(2500{m^2}\).
D. \(150{m^2}\).
Câu 38: Một cái cây ở phía sau bức tường cao 8m và cách bức tường 12m. Một người quan sát đứng trước bức tường ở vị trí chỉ nhìn thấy ngọn cây, khi đó góc nhìn so với phương ngang bằng \(40^\circ \) (hình vẽ). Chiều cao của cây là (làm tròn đến chữ số thập phân)
A. 17,07m.
B. 18,07m.
C. 19,07m.
D. 16,07m
Câu 39: Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \(AB\), \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(AB\). Lấy điểm \(C\) thuộc đoạn \(AB\), đường thẳng \(MC\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\) khác \(M\), biết độ dài \(MC = 9cm,\,\,MD = 16cm\) (tham khảo hình vẽ). Độ dài dây \(MA\) là
A.\(11cm\).
B.\(25cm\).
C.\(12cm\).
D.\(10cm\).
Câu 40: Tích tất cả các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 1} {\rm{ \;}} - {x^2} + 1 = 0\) là
A. \( - \sqrt 2 \).
B. \(2\).
C. \(\sqrt 2 \).
D. \( - 2\).
Câu 41: Cho đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\). Từ điểm \(M\) cách \(O\) một khoảng 4cm, kẻ hai tiếp tuyến \(MA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} MB\) với (\(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) là hai tiếp điểm). Độ dài dây AB là
A. \(2\sqrt 2 cm\).
B. \(2\sqrt 3 cm\).
C. 3cm.
D. \(\sqrt 3 cm\).
Câu 42: Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{1}{{x + y}} - \frac{3}{{x - y}} = 1}\end{array}} \right.\).
Giá trị biểu thức \(\frac{2}{7}{x_0} + \frac{2}{3}{y_0}\) là:
A. \(1\).
B. \( - 1\).
C. \( - 3\).
D. \(3\).
Câu 43: Cho tam giác ABC cân tại \(A\), đường cao \(BH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in AC} \right)\). Biết \(BH = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle B = 65^\circ \). Diện tích tam giác \(ABC\) là (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)
A.\(10,44\)(đvdt)
B.\(10,45\)(đvdt)
C.\(5,23\)(đvdt)
D.\(5,22\) (đvdt)
Câu 44: Với giá trị dương nào của tham số \(m\) thì khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(d:y = x + m - 1\) bằng \(\sqrt 2 \)?
A. \(m = 1\).
B. \(m = 2\).
C. \(m = 3\).
D. \(m = 4\).
Câu 45: Cho phương trình \(\left( {{m^2}{x^2} + 4x + 1} \right)\left( {x - 2023} \right) = 0\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt?
A. 1.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Câu 46: Cho hai đường thẳng \({d_1}:y = \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}:y = {\rm{ \;}} - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 \). Đường thẳng \({d_1}\) cắt trục hoành tại \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}\) cắt trục hoành tại \(B;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}\) cắt nhau tại \(C\). Diện tích tam giác ABC là
A. \(2\sqrt 3 \) (đvdt)
B. \(4\sqrt 3 \) (đvdt)
C. \(16\sqrt 3 \) (đvdt)
D. \(8\sqrt 3 \) (đvdt)
Câu 47: Cho tam giác ABC cân tại \(A\) có \(AB = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M \in AC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \in AB\) sao \(MN\parallel BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{2}{3}\).
Điểm \(D \in MN\), đường thẳng BD cắt AC tại \(P\), đường thẳng CD cắt AB tại \(Q\). Khi đó \(\frac{1}{{BQ}} + \frac{1}{{CP}}\) có giá trị là
A. \(\frac{{13}}{{20}}\).
B. \(\frac{{32}}{{49}}\).
C. \(\frac{2}{3}\).
D. \(\frac{3}{5}\).
Câu 48: Cho đường thẳng \(d:y = \left( {{m^2} + 2m + 3} \right)x - 1\). Gọi \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) với hai trục tọa độ, khi đó diện tích lớn nhất của tam giác OAB là
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{1}{8}\).
C. \(\frac{1}{4}\).
D. \(\frac{1}{3}\).
Câu 49: Cho phương trình \({x^2} + 2x - m + 5 = 0\). Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt là:
A. \(m < 5\).
B. \(m > 4\).
C. \(4 < m < 5\).
D. \( - 5 < m < 4\).
Câu 50: Phương trình \(\frac{9}{{x - \sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} + \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 5}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} = 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 1\) với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4\) có nghiệm duy nhất dạng \(x = a + b\sqrt 2 \) trong đó \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}\). Giá trị biểu thức \(2a - b\) là
A. 3
B. 6
C. 4
D. 5
-----HẾT-----
1.C | 2.A | 3.D | 4.D | 5.D | 6.A | 7.C | 8.B | 9.B | 10.A |
11.C | 12.C | 13.B | 14.A | 15.B | 16.C | 17.C | 18.C | 19.D | 20.D |
21.B | 22.D | 23.B | 24.D | 25.B | 26.C | 27.D | 28.C | 29.D | 30.A |
31.D | 32.A | 33.D | 34.D | 35.A | 36.D | 37.B | 38.B | 39.C | 40.B |
41.B | 42.B | 43.A | 44.C | 45.D | 46.B | 47.C | 48.C | 49.C | 50.C |
Câu 1 (NB):
Phương pháp:
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \(y = ax + b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 0\)
Cách giải:
Ta có: hàm số bậc nhất là \(y = 3x + 2\)
Chọn C.
Câu 2 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác
Cách giải:
Ta có tam giác ABC vuông tại \(A\), đường cao \(AH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in BC} \right)\)
Suy ra \(A{H^2} = BH.CH\)
Chọn A.
Câu 3 (NB):
Phương pháp:
Tổng các góc trong tứ giác bằng \(360^\circ \)
Cách giải:
Ta có: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 80^\circ + 110^\circ + 100^\circ + \angle D = 360^\circ }\\{ \Rightarrow \angle D = 360^\circ - 100^\circ - 110^\circ - 80^\circ }\\{ \Rightarrow \angle D = 70^\circ }\end{array}\)
Chọn D.
Câu 4 (NB):
Phương pháp:
Vị trí tương đối của hai đường tròn: hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất 2 điểm chung.
Cách giải:
Hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất 2 điểm chung
Chọn D.
Câu 5 (TH):
Phương pháp:
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 0\)
Cách giải:
Phương trình bậc hai một ẩn là \({x^2} - 2x - 3 = 0\)
Chọn D.
Câu 6 (TH):
Phương pháp:
Các góc lượng giác đặc biệt: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
Cách giải:
Ta có: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
Chọn A.
Câu 7 (NB):
Phương pháp:
Thay lần lượt cặp số \(\left( {1;2} \right)\) vào các phương trình
Cách giải:
Thay \(x = 1;y = 2\) vào \(3x + 2y = 7\) ta được: \(3.1 + 2.2 = 7\)
Do đó cặp số \(\left( {1;2} \right)\) là nghiệm của phương trình \(3x + 2y = 7\)
Chọn C.
Câu 8 (NB):
Phương pháp:
Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi rh\).
Thay \(r,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h\) vào công thức đã cho
Cách giải:
Ta có: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.3 = 12\pi \)(đvdt)
Chọn B.
Câu 9 (TH):
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng.
Cách giải:
Thay \(x = {\rm{ \;}} - 1;y = {\rm{ \;}} - 3\) vào đường thẳng \(y = 2x - 1\) ta được:\( - 3 = 2.\left( { - 1} \right) - 1\)
Do đó đường thẳng \(y = 2x - 1\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 3} \right)\)
Chọn B.
Câu 10 (NB):
Phương pháp:
Đưa về phương trình tích A.B = 0
Cách giải:
Ta có: \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\)
Chọn A.
Câu 11 (NB):
Phương pháp:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.
Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Cách giải:
Ta có: \(6 = 2.3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 9 = {3^2}\)
Do đó ước chung lớn nhất của \(6,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 9\) là 3
Chọn C.
Câu 12 (TH):
Phương pháp:
Tính chất của tam giác cân: Hai cạnh bên bằng nhau.
Cách giải:
Vì tam giác ABC cân tại \(A \Rightarrow AB = AC\)
Chọn C.
Câu 13 (TH):
Phương pháp:
Đường thẳng \(y = ax + b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\) có hệ số góc là \(a\)
Cách giải:
Hệ số góc \(a\) của đường thẳng \(y = 2x + 3\) là \(a = 2\)
Chọn B.
Câu 14 (NB):
Phương pháp:
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Cách giải:
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Chọn A.
Câu 15 (NB):
Phương pháp:
Tính giá trị biểu thức.
Cách giải:
Ta có: \(\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 5 = 3 + 5 = 8\)
Chọn B.
Câu 16 (NB):
Phương pháp:
Điều kiện xác định của hàm số \(\sqrt {f\left( x \right)} \) là \(f\left( x \right) \ge 0\)
Cách giải:
Điều kiện xác định của \(\sqrt {x - 10} \) là \(x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 10\)
Chọn C.
Câu 17 (TH):
Phương pháp:
Dây có độ dài lớn nhất của đường tròn là đường kính
Cách giải:
Dây có độ dài lớn nhất của đường tròn là đường kính
Đường kính của đường tròn \(\left( {O;12cm} \right)\) là 24cm
Chọn C.
Câu 18 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng: \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)
Cách giải:
Ta có: \({a^3}.{a^5} = {a^{3 + 5}} = {a^8}\)
Chọn C.
Câu 19 (NB):
Phương pháp:
Đặt nhân tử chung.
Cách giải:
Ta có: \({x^2} - 5x = x\left( {x - 5} \right)\)
Chọn D.
Câu 20 (NB):
Phương pháp:
Số đo cung nhỏ AB bằng góc ở tâm\(\angle AOB\)
Cách giải:
Xét (O) có: \(\angle AOB = 60^\circ \)
Suy ra số đo cung nhỏ AB là \(60^\circ \)
Chọn D.
Câu 21 (NB):
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bẳng phương pháp cộng đại số.
Cách giải:
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 5}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12x - 4y = 20}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{17x = 34}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{10 + 4y = 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {2;1} \right)\)
Chọn B.
Câu 22 (NB):
Phương pháp:
Thay giá trị \(x = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = {\rm{ \;}} - 2\) vào các hàm số \(f\left( x \right)\)
Cách giải:
Xét \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\)
Ta có \(f(2) = \frac{{{2^2}}}{2} = 2;f( - 2) = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} = 2\)
Suy ra \(f\left( 2 \right) = f\left( { - 2} \right)\)
Chọn D.
Câu 23 (TH):
Phương pháp:
Thay tọa độ điểm \(\left( {1; - 1} \right)\) vào phương trình đường thẳng rồi tìm \(m\)
Cách giải:
Vì đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(P\left( {1; - 1} \right)\) nên \(m - 2 = {\rm{ \;}} - 1 \Rightarrow m = 1\)
Chọn B.
Câu 24 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng hệ thức Vi – ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)
Cách giải:
Ta có: \(\Delta {\rm{ \;}} = 9 - 4.2 = 1 > 0\). Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Áp dụng định lý Viete ta có \({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = 2\)
Chọn D.
Câu 25 (TH):
Phương pháp:
Gọi \(I\) là trung điểm của AB.
Sử dụng định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì
vuông góc với dây ấy.
Khi đó OI là khoảng cách từ O đến AB.
Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính OI
Cách giải:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\left( {cm} \right)\)
Vì tam giác OAB cân tại \(O \Rightarrow OI \bot AB\)
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác OIB:
\(OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} {\rm{ \;}} = 9\left( {cm} \right)\)
Vậy khoảng cách từ \(O\) đến dây AB là 9cm
Chọn B.
Câu 26 (TH):
Phương pháp:
Thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Cách giải:
Thể tích hình nón có chiều cao \(h = 2cm\) và bán kính đáy \(r = 3cm\) là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.2 = 6\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn C.
Câu 27 (TH):
Phương pháp:
Diện tích đường tròn có bán kính đáy \(R\) là \(S = \pi {R^2}\), từ đó tìm bán kính rồi tính chu vi của đường tròn
Cách giải:
Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn
Khi đó \(\pi {R^2} = 64\pi {\rm{ \;}} \Rightarrow R = 8\left( {cm} \right)\)
Chu vi đường tròn là \(C = 2\pi R = 2\pi .8 = 16\pi \left( {cm} \right)\)
Chọn D.
Câu 28 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng: \(\sin x{\rm{ \;}} = \cos \left( {90^\circ - x} \right)\)
Cách giải:
Ta có: \(\sin 25^\circ = \cos \left( {90^\circ - 25^\circ } \right) = \cos 65^\circ \)
Chọn C.
Câu 29 (TH):
Phương pháp:
Với \(a < 0,{\mkern 1mu} \sqrt {{a^2}} {\rm{ \;}} = \left| a \right| = {\rm{ \;}} - a\)
Cách giải:
Với \(a < 0,{\mkern 1mu} \sqrt {{a^2}} {\rm{ \;}} = \left| a \right| = {\rm{ \;}} - a\)
Khi đó \(P = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{2} + \frac{{3a}}{2} = \frac{{ - a}}{2} + \frac{{3a}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\)
Chọn D.
Câu 30 (TH):
Phương pháp:
Tìm các nghiệm của phương trình rồi tính tích.
Cách giải:
Ta có: \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{{x^2} - 4 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 2}\\{x = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.\)
Tích các nghiệm là \(1.2.\left( { - 2} \right) = {\rm{ \;}} - 4\)
Chọn A.
Câu 31 (TH):
Phương pháp:
Biểu diễn \(x\) theo \(y\) rồi thay vào phương trình \(2x - y = 8\)
Cách giải:
Vì \(\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}y\)
Khi đó \(3y - y = 8 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4\)
Chọn D.
Câu 32 (TH):
Phương pháp:
Rút gọn biểu thức, đưa một số ra ngoài dấu căn: \(\sqrt {{a^2}b} {\rm{ \;}} = a\sqrt b \)
Cách giải:
Ta có: \(A = 2\sqrt 3 a - \sqrt {48} a = 2\sqrt 3 a - 4\sqrt 3 a = {\rm{ \;}} - 2\sqrt 3 a\)
Chọn A.
Câu 33 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của tam giác cân và tính chất của góc ngoài
Cách giải:
Vì \(\Delta MOA\) cân tại \(O\) nên \(\angle OMA = \angle MAO\)
Ta có: \(\angle MOB = \angle OMA + \angle MAO = 2\angle OMA = 2.30^\circ = 60^\circ \)
Chọn D.
Câu 34 (TH):
Phương pháp:
Tìm các phần tử thuộc tập hợp \(M\)
Cách giải:
Ta có: \(n \in \mathbb{N}*,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \vdots 3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \le 30 \Rightarrow n \in \left\{ {3;6; \ldots ;30} \right\}\)
Khi đó \(M\) có 10 phần tử
Chọn D.
Câu 35 (TH):
Phương pháp:
Lập đường thẳng đi qua hai điểm, từ đó có hệ phương trình, giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.
Cách giải:
Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1;7} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + b = 1}\\{a + b = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a = 6}\\{a + b = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{2 + b = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 5}\end{array}} \right.\)
Hàm số cần tìm là \(y = 2x + 5\)
Chọn A.
Câu 36 (VD):
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm
- Tìm điều kiện để phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt
- Áp dụng định lý Vi-ét để giải điều kiện
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( P \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\): \({x^2} = \left( {m + 1} \right)x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2 = 0\)
\(\Delta {\rm{ \;}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8 > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \in \mathbb{R}\)
Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) với mọi \(m\)
Áp dụng định lý Viete ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 1}\\{{x_1}{x_2} = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = {x_1}^2 \Rightarrow {y_1}^2 = x_1^4}\\{{y_2} = {x_2}^2 \Rightarrow {y_2}^2 = x_2^4}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(x_1^4 - x_2^4 = 8\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 8\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)}\\{ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 - 8} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 8 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_1} \ne {x_2} \Rightarrow x_1^2 \ne x_2^2} \right)}\\{ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 8}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} = 8}\\{ \Rightarrow {{\left( {m + 1} \right)}^2} + 4 = 8}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {m + 1} \right)}^2} = 4}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 = 2}\\{m + 1 = - 2}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - 3}\end{array}} \right.}\end{array}\)
Tổng các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn là \(1 - 3 = {\rm{ \;}} - 2\)
Chọn D.
Câu 37 (TH):
Phương pháp:
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
- Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b > 0} \right)\)
- Lập hệ phương trình, tìm \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\)
Cách giải:
Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b > 0} \right)\)
Chu vi sân trường hình chữ nhật là \(300m \Rightarrow a + b = 150\) (1)
Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 50m nên \(2a - 3b = 50\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 150}\\{2a - 3b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a + 2b = 300}\\{2a - 3b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5b = 250}\\{2a - 3b = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 50}\\{2a - 150 = 50}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 50}\\{a = 100}\end{array}} \right.\)
Diện tích sân trường là \(S = 100.50 = 5000\left( {{m^2}} \right)\)
Chọn B.
Câu 38 (TH):
Phương pháp:
- Sử dụng tính chất của đường thẳng song song
- Sử dụng định lý tan trong tam giác
Cách giải:
Xét cấu trúc như hình trên: \(AB = 12,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM = 8,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle MED = 40^\circ \)
Ta có: \(DE\parallel MN \Rightarrow \angle HMN = \angle MED = 40^\circ \)
Xét tam giác HMN vuông tại \(N\) có:
\(HN = MN.\tan \angle HMN = 12.\tan 40^\circ \approx 10,07\)
Vậy chiều cao của cây là \(10,07 + 8 = 18,07\left( m \right)\)
Chọn B.
Câu 39 (TH):
Phương pháp:
- Chứng minh $\Delta MAC\backsim \Delta MDA$
- Tính MA
Cách giải:
Ta có: \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ AB nên
Lại có:
Suy ra \(\angle MAC = \angle MDA\)
Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDA\) có: \(\angle MAC = \angle MDA\); \(\angle AMD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} chung\)
$\Rightarrow \Delta MAC\backsim \Delta MDA(\text{g-g})$\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow M{A^2} = MC.MD = 9.16\)
\( \Rightarrow MA = 12(cm)\)
Chọn C.
Câu 40 (VD):
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ
- Đưa về phương trình tích
Cách giải:
ĐKXĐ: \({x^2} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le {\rm{ \;}} - 1}\end{array}} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} - 1} - {x^2} + 1 = 0}\\{ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} - \left( {{x^2} - 1} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} \left( {1 - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} - 1} = 0}\\{\sqrt {{x^2} - 1} = 1}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 = 0}\\{{x^2} - 1 = 1}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 1}\\{{x^2} = 2}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\\{x = \sqrt 2 }\\{x = - \sqrt 2 }\end{array}} \right.}\end{array}\)
Vậy tích các nghiệm là \(1.( - 1).\sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 } \right) = 2\)
Chọn B.
Câu 41 (VD):
Phương pháp:
Gọi H là giao điểm của AB và MO
Sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Py-ta-go để tính độ dài các đoạn thẳng.
Cách giải:
Gọi \(H\) là giao điểm của AB và MO
Xét (O) có 2 tiếp tuyến MA, MB cắt nhauu tại M nên \(MA = MB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OA = OB\)
Suy ra OM là đường trung trực của AB
Xét tam giác MAO vuông tại \(A\) có \(AH \bot MO:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \)
\( \Rightarrow O{A^2} = OH.OM \Rightarrow OH = \frac{{O{A^2}}}{{OM}} = \frac{{{2^2}}}{4} = 1\)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAH vuông tại \(H\):
\(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{2^2} - {1^1}} {\rm{ \;}} = \sqrt 3 \)
Do đó \(AB = 2AH = 2\sqrt 3 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\)
Chọn B.
Câu 42 (VD):
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Cách giải:
ĐKXĐ: \(x \ne y \ne 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{1}{{x + y}} - \frac{3}{{x - y}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{2}{{x + y}} - \frac{6}{{x - y}} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{7}{{x - y}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{7} = 3}\\{x - y = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} = \frac{{20}}{7}}\\{x - y = 7}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = \frac{7}{{10}}}\\{x - y = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{77}}{{20}}}\\{y = \frac{{ - 63}}{{20}}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Khi đó \(\frac{2}{7}{x_0} + \frac{2}{3}{y_0} = \frac{2}{7}.\frac{{77}}{{20}} - \frac{2}{3}.\frac{{63}}{{20}} = {\rm{ \;}} - 1\)
Chọn B.
Câu 43 (VD):
Phương pháp:
Tính góc A trong tam giác ABC.
Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABH vuông H.
Cách giải:
Ta có: \(\angle BAC = 180^\circ - 2\angle B = 180^\circ - 2.65^\circ = 50^\circ \) (do tam giác ABC cân tại \(A\))
Tam giác ABH vuông tại \(H\) nên \(AB = \frac{{BH}}{{\sin 50^\circ }} = \frac{4}{{\sin 50^\circ }} = 5,22\)
Diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BH.AB = \frac{1}{2}.4.5,22 = 10,44\) (đvdt)
Chọn A.
Câu 44 (VD):
Phương pháp:
- Gọi giao điểm của d với hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt là A, B
- Gọi OH vuông góc với AB tại H
- Tính \(OA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB\) rồi dùng hệ thức lượng tính OH
Cách giải:
Gọi \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với trục \(Ox,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} Oy\)
Khi đó \(A\left( {1 - m;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {0;m - 1} \right)\)
Suy ra \(OA = \left| {1 - m} \right|,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB = \left| {m - 1} \right|\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OAB vuông tại \(O\) có OH vuông góc với AB
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}}\\{ \Rightarrow OH = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}\end{array}\)
Từ giả thiết suy ra \(\frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {\rm{ \;}} \Rightarrow \left| {m - 1} \right| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 = 2}\\{m - 1 = {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m = {\rm{ \;}} - 1}\end{array}} \right.\)
Mà \(m > 0 \Rightarrow m = 3\)
Chọn C.
Câu 45 (VD):
Phương pháp:
Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai
Cách giải:
\(\left( {{m^2}{x^2} + 4x + 1} \right)\left( {x - 2023} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2}{x^2} + 4x + 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\\{x = 2023}\end{array}} \right.\)
Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2023
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = 4 - {m^2} > 0}\\{2023{m^2} + 4.2023 + 1 \ne 0}\\{m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} < 4}\\{m \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 < m < 2}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)
Chọn D.
Câu 46 (VD):
Phương pháp:
Xác định giao điểm của hai đường thẳng.
Từ đó tính diện tích tam giác ABC.
Cách giải:
Ta có: \(A\left( { - 2;0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {0;2} \right)\)
Tọa độ \(C\) là nghiệm của hệ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }\\{y = {\rm{ \;}} - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\)
Ta có: \(OC = 2\sqrt 3 \)
\(AB = OA + OB = 2 + 2 = 4\)
Diện tích tam giác ABC là \(\frac{1}{2}OC.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 3 .4 = 4\sqrt 3 \) (đvdt)
Chọn B.
Câu 47 (VDC):
Phương pháp:
Gọi F là giao điểm của AD và BC
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BP tại K, cắt CQ tại H
Áp dụng định lí Ta-ét suy ra ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Sử dụng các kiến thức tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Cách giải:
Gọi F là giao điểm của AD và BC
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BP tại K, cắt CQ tại H
Suy ra HK // MN // BC
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
Vì \(AK\parallel BF \Rightarrow \frac{{AK}}{{BF}} = \frac{{AD}}{{DF}}\)
Vì \(AH\parallel FC \Rightarrow \frac{{AH}}{{FC}} = \frac{{AD}}{{DF}}\)
\( \Rightarrow \frac{{AK}}{{BF}} = \frac{{AD}}{{DF}} = \frac{{AH}}{{FC}} = \frac{{AH + AK}}{{BF + FC}} = \frac{{HK}}{{BC}}\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Lại có: \(\frac{{AQ}}{{BQ}} = \frac{{AH}}{{BC}}\quad (AH\parallel BC)\)
\(\frac{{AP}}{{CP}} = \frac{{AK}}{{BC}}(AK\parallel BC)\)
\( \Rightarrow \frac{{AQ}}{{BQ}} + \frac{{AP}}{{CP}} = \frac{{AH}}{{BC}} + \frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DF}}\)
Mà \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AD}}{{DF}} = \frac{2}{3}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \frac{{AQ}}{{BQ}} + \frac{{AP}}{{CP}} = \frac{2}{3}}\\{ \Rightarrow \frac{{AQ}}{{BQ}} + 1 + \frac{{AP}}{{CP}} + 1 = \frac{2}{3} + 2}\\{ \Rightarrow \frac{{AB}}{{BQ}} + \frac{{AC}}{{CP}} = \frac{8}{3}}\\{ \Rightarrow \frac{4}{{BQ}} + \frac{4}{{CP}} = \frac{8}{3}}\\{ \Rightarrow \frac{1}{{BQ}} + \frac{1}{{CP}} = \frac{2}{3}}\end{array}\)
Chọn C.
Câu 48 (VD):
Phương pháp:
Gọi \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) với hai trục tọa độ Ox, Oy.
Biểu diễn diện tích tam giác OAB và tìm GTLN của biểu thức.
Cách giải:
Ta có: \(A\left( {0; - 1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {\frac{1}{{{m^2} + 2m + 3}};0} \right)\). Suy ra \(OA = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB = \frac{1}{{{m^2} + 2m + 3}}\)
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.1.\frac{1}{{{m^2} + 2m + 3}} = \frac{1}{{2\left( {{m^2} + 2m + 3} \right)}}\)
Ta có: \({m^2} + 2m + 3 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{{2\left( {{m^2} + 2m + 3} \right)}} \le \frac{1}{4}\)
Hay \({S_{OAB}} \le \frac{1}{4}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(m = {\rm{ \;}} - 1\)
Chọn C.
Câu 49 (VD):
Phương pháp:
- Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
- Sử dụng định lý Vi-ét
Cách giải:
Ta có: \(\Delta ' = 1 - \left( { - m + 5} \right) = m - 4\)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì \(m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4\)
Áp dụng định lý Viete ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{ \;}} - 2}\\{{x_1}{x_2} = {\rm{ \;}} - m + 5}\end{array}} \right.\)
Để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt thì \( - m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < 5\)
Kết hợp hai điều kiện trên ta được \(4 < m < 5\)
Chọn C.
Câu 50 (VDC):
Phương pháp:
Rút gọn vế trái rồi giải phương trình
Cách giải:
Ta có: \(\frac{9}{{x - \sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} + \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 5}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} = 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{9}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = 2\sqrt x + 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{9 + 2x + \sqrt x - 10 - x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = 2\sqrt x + 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = 2\sqrt x + 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = 2\sqrt x + 1\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) = \sqrt x \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - 4\sqrt x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 2\\ \Leftrightarrow {(\sqrt x - 1)^2} = 2\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x - 1 = \sqrt 2 }\\{\sqrt x - 1 = - \sqrt 2 (L)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \sqrt x = \sqrt 2 + 1\\ \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \end{array}\)
Vậy \(2a - b = 2.3 - 2 = 4\)
Chọn C.
Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất?
A. \(y = \frac{1}{{{x^2}}} + 3\).
B. \(y = 3{x^2} - 2\).
C. \(y = 3x + 2\).
D. \(y = 3{x^2} - 1\).
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại \(A\), đường cao \(AH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(A{H^2} = BH.CH\).
B. \(A{H^2} = B{H^2}.C{H^2}\).
C. \(AH = \frac{{BH}}{{CH}}\).
D. \(AH = BH.CH\).
Câu 3: Tứ giác ABCD có số đo \(\angle A = 80^\circ ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle B = 110^\circ ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle C = 100^\circ \). Số đo \(\angle D\) bằng:
A. \(100^\circ \).
B. \(80^\circ \).
C. \(110^\circ \).
D. \(70^\circ \).
Câu 4: Hai đường tròn phân biệt có số điểm chung nhiều nhất là
A. 1.
B. 0.
C. Vô số.
D. 2.
Câu 5: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?
A. \(2x - 3 = 0\).
B. \({x^4} - 2{x^2} = 0\).
C. \({x^3} + 3 = 0\).
D. \({x^2} - 2x - 3 = 0\).
Câu 6: Giá trị của \(\sin 30^\circ \) bằng
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
D. \(1\).
Câu 7: Cặp số \(\left( {1;2} \right)\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. \(3x - 2y = 7\).
B. \(3x + 2y = 8\).
C. \(3x + 2y = 7\).
D. \(3x - 2y = 8\).
Câu 8: Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi rh\). Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy \(r = 2\), chiều cao \(h = 3\) là:
A. \({S_{xq}} = 24\pi \)(đvdt)
B. \({S_{xq}} = 12\pi \)(đvdt)
C. \({S_{xq}} = 6\pi \)(đvdt)
D. \({S_{xq}} = 48\pi \)(đvdt)
Câu 9: Đường thẳng \(y = 2x - 1\) đi qua điểm nào sau đây?
A. \(Q\left( {1; - 1} \right)\).
B. \(M\left( { - 1; - 3} \right)\).
C. \(N\left( {1;3} \right)\).
D. \(P\left( { - 3; - 5} \right)\).
Câu 10: Tập nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) là:
A. \(\left\{ {1;3} \right\}\).
B. \(\left\{ {1; - 3} \right\}\).
C. \(\left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
D. \(\left\{ { - 1;3} \right\}\).
Câu 11: Ước chung lớn nhất của \(6\) và \(9\) là:
A. 9.
B. 6.
C. 3.
D. 18.
Câu 12: Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(AB < AC\).
B. \(AB \ne AC\).
C. \(AB = AC\).
D. \(AB > AC\).
Câu 13: Hệ số góc \(a\) của đường thẳng \(y = 2x + 3\) là
A. \(a = \frac{1}{2}\).
B. \(a = 2\).
C. \(a = \frac{1}{3}\).
D. \(a = 3\).
Câu 14: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là :
A. góc vuông.
B. góc tù.
C. góc nhọn.
D. góc bẹt.
Câu 15: Giá trị của biểu thức \(\sqrt 9 {\rm{ \;}} + 5\) bằng
A. 14.
B. 8.
C. 6.
D. 4.
Câu 16: Điều kiện xác định của \(\sqrt {x - 10} \) là
A. \(x < 10\).
B. \(x < {\rm{ \;}} - 10\).
C. \(x \ge 10\).
D. \(x \ne 10\).
Câu 17: Cho đường tròn \(\left( {O;12cm} \right)\). Dây lớn nhất của đường tròn có độ dài bằng
A.\(48cm\).
B.\(144cm\).
C.\(24cm\).
D.\(12cm\).
Câu 18: Kết quả của phép tính \({a^3}.{a^5}\) bằng
A. \({a^7}\).
B. \({a^9}\).
C. \({a^8}\).
D. \({a^{10}}\).
Câu 19: Phân tích đa thức \({x^2} - 5x\) thành nhân tử ta được
A. \(x\left( {5 - x} \right)\).
B. \({x^2}\left( {x - 5} \right)\).
C. \(x\left( {x + 5} \right)\).
D. \(x\left( {x - 5} \right)\).
Câu 20: Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy hai điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) sao cho \(\angle AOB = 60^\circ \). Số đo cung nhỏ AB là:
A. \(30^\circ \).
B. \(90^\circ \).
C. \(120^\circ \).
D. \(60^\circ \).
Câu 21: Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y = 5}\\{5x + 4y = 14}\end{array}} \right.\) có nghiệm là
A. \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
B. \(\left( {2;1} \right)\).
C. \(\left( {2; - 1} \right)\).
D. \(\left( { - 2;1} \right)\).
Câu 22: Hàm số nào sau đây thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = f\left( { - 2} \right)\)?
A. \(f\left( x \right) = \frac{{ - x + 1}}{2}\).
B. \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + 1\).
C. \(f\left( x \right) = {\rm{ \;}} - \frac{x}{2} + 2\).
D. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\).
Câu 23: Giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(P\left( {1; - 1} \right)\) là
A. \(m = {\rm{ \;}} - 1\).
B. \(m = 1\).
C. \(m = 3\).
D. \(m = {\rm{ \;}} - 3\).
Câu 24: Cho phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\). Tích các nghiệm của phương trình là:
A. \( - 2\).
B. \( - 3\).
C. \(3\).
D. \(2\).
Câu 25: Cho đường tròn \(\left( {O;15cm} \right)\), dây \(AB = 24cm\). Khoảng cách từ \(O\) đến dây AB là
A.\(8cm\).
B.\(9cm\).
C.\(12cm\).
D.\(10cm\).
Câu 26: Thể tích hình nón có chiều cao \(h = 2cm\) và bán kính đáy \(r = 3cm\) là
A. \(V = 8\pi c{m^3}\).
B. \(V = 12\pi c{m^3}\).
C. \(V = 6\pi c{m^3}\).
D. \(V = 4\pi c{m^3}\).
Câu 27: Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có diện tích bằng \(64\pi c{m^2}\). Chu vi của đường tròn là
A. 8cm
B. \(8\pi cm\)
C. 16cm
D. \(16\pi cm\)
Câu 28: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\sin 25^\circ = \tan 65^\circ \).
B. \(\sin 25^\circ = \cos 75^\circ \).
C. \(\sin 25^\circ = \cos 65^\circ \).
D. \(\sin 25^\circ = \cot 65^\circ \).
Câu 29: Cho \(a < 0\). Kết quả rút gọn biểu thức \(P = \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{2} + \frac{{3a}}{2}\) là
A. 4a.
B. \(\frac{{3a}}{2}\).
C. 2a.
D. \(a\).
Câu 30: Tích các nghiệm của phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\) là
A. \( - 4\).
B. \(2\).
C. \(4\).
D. \( - 2\).
Câu 31: Biết \(\frac{x}{y} = \frac{3}{2}\) và \(2x - y = 8\). Khi đó giá trị của \(y\) là
A. \( - 6\).
B. \(6\).
C. \( - 4\).
D. \(4\).
Câu 32: Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 a - \sqrt {48} a\) ta được
A. \(A = {\rm{ \;}} - 6\sqrt 3 a\).
B. \(A = 2\sqrt 3 a\).
C. \(A = {\rm{ \;}} - 2\sqrt 3 a\).
D. \(A = 6\sqrt 3 a\).
Câu 33: Trong hình bên, biết \(\angle AMO = 30^\circ \). Số đo \(\angle MOB\) là
A. \(30^\circ \).
B. \(45^\circ \).
C. \(120^\circ \).
D. \(60^\circ \).
Câu 34: Tập hợp \(M = \left\{ {n \in \mathbb{N}*|n \vdots 3,n \le 30} \right\}\) có số phần tử là
A. 8.
B. 9.
C. 11.
D. 10.
Câu 35: Xác định hàm số \(y = ax + b\), biết đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;1} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1;7} \right)\)
A. \(y = 2x + 5\).
B. \(y = 3x + 7\).
C. \(y = 3x + 1\).
D. \(y = x + 3\).
Câu 36: Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng . Tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\left( P \right)\) và \(d\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho \(y_1^2 - y_2^2 = 8\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\) là
A. \( - 4\).
B. \(3\).
C. \(4\).
D. \( - 3\).
Câu 37: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 300m. Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 50m. Diện tích của sân trường là
A. \(300{m^2}\).
B. \(5000{m^2}\).
C. \(2500{m^2}\).
D. \(150{m^2}\).
Câu 38: Một cái cây ở phía sau bức tường cao 8m và cách bức tường 12m. Một người quan sát đứng trước bức tường ở vị trí chỉ nhìn thấy ngọn cây, khi đó góc nhìn so với phương ngang bằng \(40^\circ \) (hình vẽ). Chiều cao của cây là (làm tròn đến chữ số thập phân)
A. 17,07m.
B. 18,07m.
C. 19,07m.
D. 16,07m
Câu 39: Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \(AB\), \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(AB\). Lấy điểm \(C\) thuộc đoạn \(AB\), đường thẳng \(MC\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\) khác \(M\), biết độ dài \(MC = 9cm,\,\,MD = 16cm\) (tham khảo hình vẽ). Độ dài dây \(MA\) là
A.\(11cm\).
B.\(25cm\).
C.\(12cm\).
D.\(10cm\).
Câu 40: Tích tất cả các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 1} {\rm{ \;}} - {x^2} + 1 = 0\) là
A. \( - \sqrt 2 \).
B. \(2\).
C. \(\sqrt 2 \).
D. \( - 2\).
Câu 41: Cho đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\). Từ điểm \(M\) cách \(O\) một khoảng 4cm, kẻ hai tiếp tuyến \(MA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} MB\) với (\(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) là hai tiếp điểm). Độ dài dây AB là
A. \(2\sqrt 2 cm\).
B. \(2\sqrt 3 cm\).
C. 3cm.
D. \(\sqrt 3 cm\).
Câu 42: Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3}\\{\frac{1}{{x + y}} - \frac{3}{{x - y}} = 1}\end{array}} \right.\).
Giá trị biểu thức \(\frac{2}{7}{x_0} + \frac{2}{3}{y_0}\) là:
A. \(1\).
B. \( - 1\).
C. \( - 3\).
D. \(3\).
Câu 43: Cho tam giác ABC cân tại \(A\), đường cao \(BH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in AC} \right)\). Biết \(BH = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle B = 65^\circ \). Diện tích tam giác \(ABC\) là (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)
A.\(10,44\)(đvdt)
B.\(10,45\)(đvdt)
C.\(5,23\)(đvdt)
D.\(5,22\) (đvdt)
Câu 44: Với giá trị dương nào của tham số \(m\) thì khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(d:y = x + m - 1\) bằng \(\sqrt 2 \)?
A. \(m = 1\).
B. \(m = 2\).
C. \(m = 3\).
D. \(m = 4\).
Câu 45: Cho phương trình \(\left( {{m^2}{x^2} + 4x + 1} \right)\left( {x - 2023} \right) = 0\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt?
A. 1.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Câu 46: Cho hai đường thẳng \({d_1}:y = \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}:y = {\rm{ \;}} - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 \). Đường thẳng \({d_1}\) cắt trục hoành tại \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}\) cắt trục hoành tại \(B;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2}\) cắt nhau tại \(C\). Diện tích tam giác ABC là
A. \(2\sqrt 3 \) (đvdt)
B. \(4\sqrt 3 \) (đvdt)
C. \(16\sqrt 3 \) (đvdt)
D. \(8\sqrt 3 \) (đvdt)
Câu 47: Cho tam giác ABC cân tại \(A\) có \(AB = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M \in AC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \in AB\) sao \(MN\parallel BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{2}{3}\).
Điểm \(D \in MN\), đường thẳng BD cắt AC tại \(P\), đường thẳng CD cắt AB tại \(Q\). Khi đó \(\frac{1}{{BQ}} + \frac{1}{{CP}}\) có giá trị là
A. \(\frac{{13}}{{20}}\).
B. \(\frac{{32}}{{49}}\).
C. \(\frac{2}{3}\).
D. \(\frac{3}{5}\).
Câu 48: Cho đường thẳng \(d:y = \left( {{m^2} + 2m + 3} \right)x - 1\). Gọi \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) với hai trục tọa độ, khi đó diện tích lớn nhất của tam giác OAB là
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{1}{8}\).
C. \(\frac{1}{4}\).
D. \(\frac{1}{3}\).
Câu 49: Cho phương trình \({x^2} + 2x - m + 5 = 0\). Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt là:
A. \(m < 5\).
B. \(m > 4\).
C. \(4 < m < 5\).
D. \( - 5 < m < 4\).
Câu 50: Phương trình \(\frac{9}{{x - \sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} + \frac{{2\sqrt x {\rm{ \;}} + 5}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} + 1}} - \frac{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{ \;}} - 2}} = 2\sqrt x {\rm{ \;}} + 1\) với \(x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 4\) có nghiệm duy nhất dạng \(x = a + b\sqrt 2 \) trong đó \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}\). Giá trị biểu thức \(2a - b\) là
A. 3
B. 6
C. 4
D. 5
-----HẾT-----
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tại Yên Bái năm 2023 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Đề thi thường bao gồm các dạng bài tập thuộc chương trình Toán lớp 9, tập trung vào các chủ đề chính như Đại số, Hình học và số học. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành công.
Thông thường, đề thi vào 10 môn Toán Yên Bái có cấu trúc gồm hai phần chính:
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tại Yên Bái, các em học sinh cần có một kế hoạch ôn tập khoa học và hiệu quả. Dưới đây là một số gợi ý:
Dưới đây là một số đề thi tham khảo giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc và độ khó của đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tại Yên Bái:
| Đề thi | Link tải |
|---|---|
| Đề thi số 1 | [Link đến đề thi 1] |
| Đề thi số 2 | [Link đến đề thi 2] |
| Đề thi số 3 | [Link đến đề thi 3] |
Trước khi bước vào phòng thi, hãy đảm bảo rằng các em đã chuẩn bị đầy đủ các dụng cụ cần thiết như bút, thước, máy tính bỏ túi. Trong quá trình làm bài, hãy đọc kỹ đề bài, phân tích các dữ kiện và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Đừng bỏ qua bất kỳ câu hỏi nào và hãy kiểm tra lại bài làm của mình trước khi nộp.
Giaibaitoan.com là một website học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các tài liệu ôn thi, đề thi thử và đáp án chi tiết cho các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Chúng tôi hy vọng rằng những tài liệu này sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới.
