Giaibaitoan.com xin giới thiệu bộ đề thi vào 10 môn Toán Hà Tĩnh năm 2020 chính thức, được cập nhật mới nhất. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Chúng tôi cung cấp đầy đủ các đề thi, đáp án chi tiết và phương pháp giải bài tập, giúp các em hiểu rõ từng dạng bài và áp dụng kiến thức một cách hiệu quả.
Câu 1 (2 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:
Câu 1 (2 điểm):
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
b) \(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\) với \(x > 0\)
Câu 2 (2,5 điểm):
a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 36 = 0\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {a - 1} \right)x + b\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x - 1.\) Tìm các số \(a\) và \(b\).
Câu 3 (1,5 điểm):
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Câu 4 (1 điểm):
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\)(\(H\)thuộc \(BC\)). Biết độ dài đoạn \(AB\) bằng \(5cm\), đoạn \(BH\) bằng \(3cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC\) và \(BC\).
Câu 5 (2 điểm):
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Câu 6 (1 điểm):
Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = 2ab.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}.\)
Câu 1 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
Phương pháp:
a) Đặt nhân tử chung, rút gọn biểu thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn biểu thức đã cho.
Cách giải:
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - {1^2}\\ = 2 - 1 = 1\end{array}\)
b) \(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\) với \(x > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right).\left( {\dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x - \sqrt x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{x}\end{array}\)
Vậy \(Q = - \dfrac{3}{x}\) với \(x > 0\).
Câu 2 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số
Phương pháp:
a) Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình: \({t^2} + 5t - 36 = 0.\)
Giải phương trình tìm ẩn \(t.\) Đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm rồi tìm \(x.\)
b) Hai đường thẳng \(d:\,\,\,y = {a_1}x + {b_1}\) và \(d':\,\,\,y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\)
Thay tọa độ điểm \(M\) vào công thức hàm số \(d\).
Từ đó giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,b.\)
Cách giải:
a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 36 = 0\)
Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}{t^2} + 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 9t - 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 9} \right) - 4\left( {t + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 4 = 0\\t + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 9\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 4 \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2;x = - 2.\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {a - 1} \right)x + b\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x - 1.\) Tìm các số \(a\) và \(b\).
Vì hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) song song với nhau nên \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 3\\b \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b \ne - 1\end{array} \right.\)
Suy ra đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x + b\) \(\left( {b \ne - 1} \right)\)
Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) nên thay \(x = - 1;y = - 2\) vào hàm số \(y = 3x + b\) ta được:
\( - 2 = 3.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow b = 1\) (thỏa mãn)
Vậy \(a = 4;b = 1.\)
Câu 3 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Phương pháp:
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là \(x;y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x;y < 610} \right)\)
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn \(x,\,\,y\) vừa gọi rồi giải hệ phương trình.
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Cách giải:
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là \(x;y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x;y < 610} \right)\)
Vì trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm nên ta có phương trình \(x + y = 610\) (sản phẩm)
Trong quý II:
Tổ A tăng thêm 10% so với quý I nên tổ A sản xuất được \(\left( {1 + 10\% } \right)x = 1,1x\) sản phẩm
Tổ B tăng thêm 14% so với quý I nên tổ B sản xuất được \(\left( {1 + 14\% } \right)x = 1,14y\) sản phẩm
Và cả 2 tổ sản xuất được 681 sản phẩm nên ta có phương trình \(1,1x + 1,14y = 681\) (sản phẩm)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 610\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,1y = 671\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,04y = 10\\x + y = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\\250 + x = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 360\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy trong quý I, tổ A sản xuất được 360 sản phẩm, tổ B sản xuất được 250 sản phẩm.
Câu 4 - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Phương pháp:
Sử dụng định lý Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.
Cách giải:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\)(\(H\)thuộc \(BC\)). Biết độ dài đoạn \(AB\) bằng \(5cm\), đoạn \(BH\) bằng \(3cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC\) và \(BC\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{5^2}}}{3} = \dfrac{{25}}{3}\) cm
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pytago ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {\left( {\dfrac{{25}}{3}} \right)^2} - {5^2} = \dfrac{{400}}{9}\\ \Rightarrow AC = \dfrac{{20}}{3}cm\end{array}\)
Vậy \(BC = \dfrac{{25}}{3}cm,AC = \dfrac{{20}}{3}cm.\)
Câu 5 - Ôn tập chương 3: Góc với đường tròn
Cách giải:
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
Ta có: bốn điểm \(P,E,N,M\) cùng thuộc \(\left( O \right)\) nên tứ giác \(PENM\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle EPN = \angle EMN\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(EN\))
Xét \(\Delta SPN\) và \(\Delta SME\) có:
\(\angle S\) chung
\(\angle EPN = \angle EMS\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta SPN \sim \Delta SME\left( {g - g} \right)\) (đpcm)
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Từ câu a, \(\Delta SPN \sim \Delta SME \Rightarrow \dfrac{{SP}}{{SM}} = \dfrac{{SN}}{{SE}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow SP.SE = SM.SN\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\angle PEH = \angle PEQ = \dfrac{1}{2}sdPQ = sdPM = \angle POM\)
\(\begin{array}{l}\angle PEH + \angle SEH = {180^0}\\\angle POM + \angle POS = {180^0}\\ \Rightarrow \angle SEH = \angle POS\end{array}\)
Xét \(\Delta SEH\) và \(\Delta SOP\) có:
\(\begin{array}{l}\angle SEH = \angle POS\left( {cmt} \right)\\\angle S\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta SEH \sim \Delta SOP\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SO}} = \dfrac{{SH}}{{SP}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow SE.SP = SO.SH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SO.SH = SM.SN\)\( \Rightarrow SH = \dfrac{{SM.SN}}{{SO}}\)
Mà \(S,M,N,O\) cố định nên \(SM,SN,SO\) không đổi
\( \Rightarrow SH\) không đổi
\( \Rightarrow OH = SO - SH\) không đổi.
Vậy độ dài \(OH\) không phụ thuộc vào vị trí điểm \(I\). (đpcm)
Câu 6 - Bất đẳng thức
Cách giải:
\(\begin{array}{l}a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) - \left( {a + b} \right) = 6ab\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) = 6ab \le 6.\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) - \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le a + b \le 2\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}\\ = \dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{2020}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a} + \dfrac{{2020}}{a}\\ = \left( {\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\end{array}\)
Áp dụng các BĐT cơ bản \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\) và \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{2ab}} + 2020.\dfrac{4}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{8080}}{{a + b}} = {a^2} + {b^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{{8072}}{{a + b}}\\ \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}.\dfrac{4}{{a + b}}.\dfrac{4}{{a + b}}}} + \dfrac{{8072}}{2} = 4042\\ \Rightarrow F \ge 4042\end{array}\)
\( \Rightarrow {F_{\min }} = 4042\) khi \(a = b = 1\).
Câu 1 (2 điểm):
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
b) \(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\) với \(x > 0\)
Câu 2 (2,5 điểm):
a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 36 = 0\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {a - 1} \right)x + b\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x - 1.\) Tìm các số \(a\) và \(b\).
Câu 3 (1,5 điểm):
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Câu 4 (1 điểm):
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\)(\(H\)thuộc \(BC\)). Biết độ dài đoạn \(AB\) bằng \(5cm\), đoạn \(BH\) bằng \(3cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC\) và \(BC\).
Câu 5 (2 điểm):
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Câu 6 (1 điểm):
Cho \(a,\,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = 2ab.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}.\)
Câu 1 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
Phương pháp:
a) Đặt nhân tử chung, rút gọn biểu thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn biểu thức đã cho.
Cách giải:
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - 1}} + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\ = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - {1^2}\\ = 2 - 1 = 1\end{array}\)
b) \(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\) với \(x > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + 1} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right).\left( {\dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x - \sqrt x - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{x}\end{array}\)
Vậy \(Q = - \dfrac{3}{x}\) với \(x > 0\).
Câu 2 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số
Phương pháp:
a) Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình: \({t^2} + 5t - 36 = 0.\)
Giải phương trình tìm ẩn \(t.\) Đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm rồi tìm \(x.\)
b) Hai đường thẳng \(d:\,\,\,y = {a_1}x + {b_1}\) và \(d':\,\,\,y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\)
Thay tọa độ điểm \(M\) vào công thức hàm số \(d\).
Từ đó giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,b.\)
Cách giải:
a) Giải phương trình \({x^4} + 5{x^2} - 36 = 0\)
Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}{t^2} + 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 9t - 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 9} \right) - 4\left( {t + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 4 = 0\\t + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 9\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 4 \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2;x = - 2.\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {a - 1} \right)x + b\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x - 1.\) Tìm các số \(a\) và \(b\).
Vì hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) song song với nhau nên \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 3\\b \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b \ne - 1\end{array} \right.\)
Suy ra đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x + b\) \(\left( {b \ne - 1} \right)\)
Vì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) nên thay \(x = - 1;y = - 2\) vào hàm số \(y = 3x + b\) ta được:
\( - 2 = 3.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow b = 1\) (thỏa mãn)
Vậy \(a = 4;b = 1.\)
Câu 3 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Phương pháp:
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là \(x;y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x;y < 610} \right)\)
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn \(x,\,\,y\) vừa gọi rồi giải hệ phương trình.
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Cách giải:
Trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm. Trong quý II, số sản phẩm tổ A tăng thêm 10%, tổ B tăng thêm 14% so với quý I, do đó cả hai tổ sản xuất được 681 sản phẩm. Hỏi trong quý I, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm tổ A và tổ B sản xuất được trong quý I lần lượt là \(x;y\) (sản phẩm) \(\left( {0 < x;y < 610} \right)\)
Vì trong quý I, cả hai tổ A và B sản xuất được 610 sản phẩm nên ta có phương trình \(x + y = 610\) (sản phẩm)
Trong quý II:
Tổ A tăng thêm 10% so với quý I nên tổ A sản xuất được \(\left( {1 + 10\% } \right)x = 1,1x\) sản phẩm
Tổ B tăng thêm 14% so với quý I nên tổ B sản xuất được \(\left( {1 + 14\% } \right)x = 1,14y\) sản phẩm
Và cả 2 tổ sản xuất được 681 sản phẩm nên ta có phương trình \(1,1x + 1,14y = 681\) (sản phẩm)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 610\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,1y = 671\\1,1x + 1,14y = 681\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,04y = 10\\x + y = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\\250 + x = 610\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 250\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 360\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy trong quý I, tổ A sản xuất được 360 sản phẩm, tổ B sản xuất được 250 sản phẩm.
Câu 4 - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Phương pháp:
Sử dụng định lý Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.
Cách giải:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\)(\(H\)thuộc \(BC\)). Biết độ dài đoạn \(AB\) bằng \(5cm\), đoạn \(BH\) bằng \(3cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC\) và \(BC\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{5^2}}}{3} = \dfrac{{25}}{3}\) cm
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pytago ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {\left( {\dfrac{{25}}{3}} \right)^2} - {5^2} = \dfrac{{400}}{9}\\ \Rightarrow AC = \dfrac{{20}}{3}cm\end{array}\)
Vậy \(BC = \dfrac{{25}}{3}cm,AC = \dfrac{{20}}{3}cm.\)
Câu 5 - Ôn tập chương 3: Góc với đường tròn
Cách giải:
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN, điểm I thay đổi trên đoạn OM (I khác M). Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt (O) tại P và Q. Trên tia đối của tia NM lấy điểm S cố định. Đoạn PS cắt (O) tại E, gọi H là giao điểm của EQ và MN.
a) Chứng minh tam giác SPN và tam giác SME đồng dạng.
Ta có: bốn điểm \(P,E,N,M\) cùng thuộc \(\left( O \right)\) nên tứ giác \(PENM\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle EPN = \angle EMN\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(EN\))
Xét \(\Delta SPN\) và \(\Delta SME\) có:
\(\angle S\) chung
\(\angle EPN = \angle EMS\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta SPN \sim \Delta SME\left( {g - g} \right)\) (đpcm)
b) Chứng minh độ dài OH không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Từ câu a, \(\Delta SPN \sim \Delta SME \Rightarrow \dfrac{{SP}}{{SM}} = \dfrac{{SN}}{{SE}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow SP.SE = SM.SN\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\angle PEH = \angle PEQ = \dfrac{1}{2}sdPQ = sdPM = \angle POM\)
\(\begin{array}{l}\angle PEH + \angle SEH = {180^0}\\\angle POM + \angle POS = {180^0}\\ \Rightarrow \angle SEH = \angle POS\end{array}\)
Xét \(\Delta SEH\) và \(\Delta SOP\) có:
\(\begin{array}{l}\angle SEH = \angle POS\left( {cmt} \right)\\\angle S\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta SEH \sim \Delta SOP\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SO}} = \dfrac{{SH}}{{SP}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow SE.SP = SO.SH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(SO.SH = SM.SN\)\( \Rightarrow SH = \dfrac{{SM.SN}}{{SO}}\)
Mà \(S,M,N,O\) cố định nên \(SM,SN,SO\) không đổi
\( \Rightarrow SH\) không đổi
\( \Rightarrow OH = SO - SH\) không đổi.
Vậy độ dài \(OH\) không phụ thuộc vào vị trí điểm \(I\). (đpcm)
Câu 6 - Bất đẳng thức
Cách giải:
\(\begin{array}{l}a\left( {2a - 1} \right) + b\left( {2b - 1} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {a + b} \right) = ab\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) - \left( {a + b} \right) = 6ab\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) = 6ab \le 6.\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) - \dfrac{3}{2}{\left( {a + b} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le a + b \le 2\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}F = \dfrac{{{a^3} + 2020}}{b} + \dfrac{{{b^3} + 2020}}{a}\\ = \dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{2020}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a} + \dfrac{{2020}}{a}\\ = \left( {\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{a}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\end{array}\)
Áp dụng các BĐT cơ bản \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\) và \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{{a^4}}}{{ab}} + \dfrac{{{b^4}}}{{ab}}} \right) + 2020\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{2ab}} + 2020.\dfrac{4}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{8080}}{{a + b}} = {a^2} + {b^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ \ge \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} + \dfrac{{8080}}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{4}{{a + b}} + \dfrac{{8072}}{{a + b}}\\ \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}.\dfrac{4}{{a + b}}.\dfrac{4}{{a + b}}}} + \dfrac{{8072}}{2} = 4042\\ \Rightarrow F \ge 4042\end{array}\)
\( \Rightarrow {F_{\min }} = 4042\) khi \(a = b = 1\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tại Hà Tĩnh năm 2020 là một bước ngoặt quan trọng trong sự nghiệp học tập của các em học sinh. Đề thi môn Toán thường có độ khó vừa phải, tập trung vào các kiến thức cơ bản và nâng cao của chương trình Toán lớp 9. Việc nắm vững kiến thức và luyện tập thường xuyên là yếu tố then chốt để đạt kết quả tốt.
Đề thi thường bao gồm các dạng bài sau:
Đề thi số 1 tập trung vào các kiến thức về đại số, đặc biệt là phương trình và hệ phương trình. Các bài toán yêu cầu học sinh phải vận dụng linh hoạt các phương pháp giải phương trình, như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, và phương pháp đặt ẩn phụ. Bên cạnh đó, đề thi cũng có một số bài toán về hình học, yêu cầu học sinh phải biết cách vẽ hình và chứng minh các tính chất hình học.
Đề thi số 2 có độ khó cao hơn đề thi số 1, với nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt. Đề thi tập trung vào các kiến thức về hàm số, bất phương trình, và các ứng dụng thực tế. Ngoài ra, đề thi cũng có một số bài toán về số học, yêu cầu học sinh phải biết cách sử dụng các tính chất của số nguyên tố và ước số.
Đề thi số 3 là đề thi tổng hợp, bao gồm các dạng bài từ đại số, hình học, số học, và tổ hợp - xác suất. Đề thi yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức của tất cả các chương trong chương trình Toán lớp 9. Bên cạnh đó, đề thi cũng có một số bài toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng sáng tạo và giải quyết vấn đề.
Giaibaitoan.com cung cấp đầy đủ các tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán Hà Tĩnh năm 2020, bao gồm:
Chúc các em học sinh ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới! Hãy sử dụng các tài liệu và phương pháp ôn thi hiệu quả để tự tin bước vào kỳ thi.
