Giaibaitoan.com xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Phú Thọ năm 2019 chính thức. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Đề thi được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo độ chính xác và tính cập nhật cao. Bên cạnh đề thi, chúng tôi còn cung cấp đáp án chi tiết và lời giải bài bản, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải từng dạng bài.
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 ĐIỂM) Câu 1: Tìm
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 ĐIỂM)
Câu 1: Tìm \(x\) biết \(\sqrt x = 4.\)
A. \(x = 2\) B. \(x = 4\)C. \(x = 8\) D. \(x = 16\)
Câu 2: Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)
A. \(y = - \dfrac{1}{2}x\) B. \(y = - 2x\)C. \(y = 2x + 1\) D. \(y = - 3x + 1\)
Câu 3: Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(y = 3x - 5?\)
A. \(M\left( {3; - 5} \right)\) B. \(N\left( {1; - 2} \right)\) C. \(P\left( {1;\,\,3} \right)\) D. \(Q\left( {3;\,\,1} \right)\)
Câu 4: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\3x + 2y = 4\end{array} \right.\) có nghiệm là:
A. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( { - 2;\,\,5} \right)\) B. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {5; - 2} \right)\) C. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {2;\,\,5} \right)\) D. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {5;\,\,2} \right)\)
Câu 5: Giá trị của hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) tại \(x = - 2\) bằng:
A. \( - 1\) B. \(4\)C. \(2\) D. \(1\)
Câu 6: Biết parabol \(y = {x^2}\) cắt đường thẳng \(y = - 3x + 4\) tại hai điểm phân biệt có hoành độlaà \({x_1};\,\,{x_2}\,\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right).\) Giá trị \(T = 2{x_1} + 3{x_2}\) bằng:
A. \( - 5\) B. \( - 10\) C. \(5\) D. \(10\)
Câu 7: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(\tan C = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) B. \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) C. \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) D. \(\tan C = \dfrac{{AC}}{{AB}}\)
Câu 8: Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AC.\)
Biết \(\angle DBC = {55^0},\) số đo \(\angle ACD\) bằng:
A. \({30^0}\) B. \({40^0}\)
C. \({45^0}\) D. \({35^0}\)
Câu 9: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = a.\) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng:
A. \(a\) B. \(2a\)C. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) D. \(a\sqrt 2 \)
Câu 10: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài bằng \(2m,\) chiều rộng bằng \(1m\) gò thành mặt xung quanh của một hình trụ có chiều cao \(1m,\) (hai cạnh chiều rộng của hình chữ nhật sau khi gò trùng khít nhau) .
Thể tích của hình trụ đó bằng:
A. \(\dfrac{1}{\pi }\,\,\,{m^3}\) B. \(\dfrac{1}{{2\pi }}\,\,\,{m^3}\) C. \(2\pi \,\,{m^3}\) D. \(4\pi \,\,{m^3}\)
PHẦN II: TỰ LUẬN (7,5 ĐIỂM)
Câu 1 (1,5 điểm)
Lớp 9A và lớp 9B của một trường THCS dự định làm 90 chiếc đèn ông sao để tặng các em thiếu nhi nhân dịp Tết Trung Thu. Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn; nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn. Biết rằng số đèn từng lớp làm được trong mỗi ngày là như nhau. Hỏi nếu cả hai lớp cùng làm thì hết bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đã dự định.
Câu 2 (2 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - mx - 3 = 0\) (\(m\) là tham số).
a) Giải phương trình với \(m = 2.\)
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)
c) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(\left( {{x_1} + 6} \right)\left( {{x_2} + 6} \right) = 2019.\)
Câu 3 (3 điểm):
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AD\,\left( {D \in BC} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC,\) kẻ \(AH\) vuông góc với \(BI\) tại \(H.\)
a) Chứng minh tứ giác \(ABDH\) nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDH.\)
b) Chứng minh tam giác \(BDH\) đồng dạng với tam giác \(BIC.\)
c) Chứng minh \(AB.HD = AH.BD = \dfrac{1}{2}AD.BH\)
Câu 4 (1 điểm):
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} = 4\\\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} + \dfrac{{y - 2}}{{y - 1}} = y - x\end{array} \right.\)
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 ĐIỂM)
1. D | 2. C | 3. B | 4. A | 5. C |
6. A | 7. B | 8. D | 9. C | 10. A |
Câu 1- Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
Phương pháp:
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)
Giải phương trình \(\sqrt x = a \Leftrightarrow x = {a^2}\,\,\,\left( {a \ge 0} \right).\)
Cách giải:
Điều kiện: \(x \ge 0.\)
\(\sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = {4^2} \Leftrightarrow x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 16.\)
Chọn D.
Câu 2 - Hàm số bậc nhất
Phương pháp:
Hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 0\) và nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a < 0.\)
Cách giải:
Trong các đáp án, chỉ có đáp án C có hàm số \(y = 2x + 1\) có \(a = 2 > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Chọn C.
Câu 3 - Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
Phương pháp:
Đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b.\)
Cách giải:
+) Xét điểm \(M\left( {3; - 5} \right)\) ta có: \(3.3 - 5 = 4 \ne - 5 \Rightarrow M \notin d:\,\,y = 3x - 5.\)
+) Xét điểm \(N\left( {1; - 2} \right)\) ta có: \(3.1 - 5 = - 2 \Rightarrow N \in d:\,\,y = 3x - 5.\)
Chọn B.
Câu 4 – Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\3x + 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - 2x\\3x + 2\left( {1 - 2x} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - 2x\\3x + 2 - 4x = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - 2x\\ - x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2.\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 5\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( { - 2;\,\,5} \right).\)
Chọn A.
Câu 5 - Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)
Phương pháp:
Thay \(x = - 2\) vào hàm số đã cho để tìm \(y\left( { - 2} \right).\)
Cách giải:
Thay \(x = - 2\) ta được: \(y\left( { - 2} \right) = \dfrac{1}{2}.{\left( { - 2} \right)^2} = 2.\)
Chọn C.
Câu 6 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số.
Giải phương trình hoành độ \(\left( * \right)\) để tìm hoành độ các giao điểm và tính biểu thức đề bài yêu cầu.
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,y = - 3x + 4\) và parabol \(\left( P \right):\,\,\,y = {x^2}\) là:
\(\begin{array}{l}{x^2} = - 3x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 4\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có: \({x_1} < {x_2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 4\\{x_2} = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow T = 2{x_1} + 3{x_2} = 2.\left( { - 4} \right) + 3.1 = - 5.\)
Chọn A.
Câu 7 - Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: tan = cạnh đối/ cạnh kề.
Cách giải:
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}.\)
Chọn B.
Câu 8 - Góc nội tiếp
Phương pháp:
Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là \({90^0}.\)
Cách giải:
Ta có: \(\angle DBC = {55^0}\) là góc nội tiếp chắn cung
Vì \(AC\) là đường kính của đường tròn
Ta có: \(\angle ACD\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \(AD.\)
Chọn D.
Câu 9 – Đường tròn
Phương pháp:
Tam giác vuông nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền và tâm là trung điểm của cạnh huyền.
Cách giải:
Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) và có \(AB = a \Rightarrow BC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \Delta ABC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)
\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là: \(R = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Chọn C.
Câu 10 - Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của Hình trụ
Phương pháp:
Thể tích hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \pi {R^2}h.\)
Cách giải:
Ta gò tấm tôn hình chữ nhật đã cho thành hình trụ như đề bài ta được hình trụ có chiều cao \(h = 1\,m\) và chu vi đáy của hình trụ là: \(C = 2\pi R = 2\,m.\)
\( \Rightarrow R = \dfrac{2}{{2\pi }} = \dfrac{1}{\pi }\,\,m.\)
Vậy thể tích của hình trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi .{\left( {\dfrac{1}{\pi }} \right)^2}.1 = \dfrac{1}{\pi }\,\,{m^3}.\)
Chọn A.
PHẦN II: TỰ LUẬN (7,5 ĐIỂM)
Câu 1 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi số đèn lồng lớp 9A làm được trong 1 ngày là \(x\) (chiếc đèn) \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,x < 90\,} \right).\)
Số đèn lồng lớp 9B làm được trong 1 ngày là \(y\) (chiếc đèn) \(\left( {y \in \mathbb{N}*,\,y < 90\,} \right).\)
Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn nên ta có phương trình: \(2x + y = 23\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn nên ta có phương trình: \(x + 2y = 22\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 23\\x + 2y = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 23\\2x + 4y = 44\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 21\\x = 22 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 7\\x = 22 - 2.7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 7\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow \) Trong 1 ngày, cả hai lớp làm được số đèn là: \(8 + 7 = 15\) chiếc đèn.
Như vậy cả 2 lớp cùng làm hết 90 chiếc đèn xong trong số ngày là: \(90:15 = 6\) (ngày).
Câu 2 - Ôn tập chương 4: Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai một ẩn
Phương pháp:
a) Thay \(m = 2\) vào phương trình rồi giải phương trình bậc hai một ẩn.
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \Leftrightarrow \Delta > 0\,\,\forall m.\)
c) Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài toán để tìm \(m\) rồi kết luận.
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} - mx - 3 = 0\) (\(m\) là tham số).
a) Giải phương trình với \(m = 2.\)
Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy với \(m = 2\) thì phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - 1;\,\,3} \right\}.\)
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)
Ta có: \(\Delta = {m^2} - 4.\left( { - 3} \right) = {m^2} + 12 > 0\,\,\forall m.\)
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
c) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(\left( {{x_1} + 6} \right)\left( {{x_2} + 6} \right) = 2019.\)
Theo câu b), phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 3\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(\left( {{x_1} + 6} \right)\left( {{x_2} + 6} \right) = 2019\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 6{x_1} + 6{x_2} + 36 = 2019\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1983 = 0\\ \Leftrightarrow - 3 + 6m - 1983 = 0\\ \Leftrightarrow 6m = 1986\\ \Leftrightarrow m = 331.\end{array}\)
Vậy \(m = 331\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 3 - Ôn tập tổng hợp chương 1, 2, 3 - Hình học
Phương pháp:
a) Chỉ ra tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạng dưới các góc bàng nhau là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc.
c) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng tương ứng để suy ra các đẳng thức cần chứng minh.
Cách giải:
a) Chứng minh tứ giác \(ABDH\) nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDH.\)
Xét tứ giác \(AHDB\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHB = {90^0}\,\,\,\left( {AH \bot BI} \right)\\\angle ADB = {90^0}\,\,\,\left( {AD \bot BC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle AHB = \angle ADB = {90^0}.\)
\( \Rightarrow AHDB\) là tứ giác nội tiếp (có hai đỉnh \(D,H\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AB\) dưới các góc vuông).
Gọi \(K\) là trung điểm \(AB\).
Ta có \(\angle AHB,\,\,\angle ADB\) cùng nhìn đoạn \(AB\) dưới góc \({90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,H,\,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB.\)
Vậy \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AHDB.\)
b) Chứng minh tam giác \(BDH\) đồng dạng với tam giác \(BIC.\)
Vì tứ giác \(AHDB\) nội tiếp (theo câu a) nên \(\angle BAD = \angle BHD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)) (1)
Lại có \(\angle BAD = \angle ACB\) (2) (cùng phụ với \(\angle ABD\) )
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle BHD = \angle ICB\left( { = \angle BAD} \right)\)
Xét \(\Delta BHD\) và \(\Delta BCI\) có
c) Chứng minh \(AB.HD = AH.BD = \dfrac{1}{2}AD.BH\)
+) Vì (theo câu b) nên \(\dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{HD}}{{IC}}\) mà \(IC = \dfrac{1}{2}AC\) nên \(\dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{HD}}{{\dfrac{1}{2}AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{HB}}{{HD}} = \dfrac{{2BC}}{{AC}}\) (3)
Từ (5) và (6) ta có \(\dfrac{{DB}}{{HD}} = \dfrac{{AB}}{{AH}} \Leftrightarrow AH.BD = AB.HD\) (**)
Từ (*) và (**) ta có \(AB.HD = AH.BD = \dfrac{1}{2}AD.BH\) (đpcm)
Câu 4 - Hệ phương trình không mẫu mực
Phương pháp:
Biến đổi phương trình thứ nhất và quy đồng phương trình thứ hai sau đó trừ vế với vế của các phương trình.
Đưa về phương trình bậc hai ẩn \(y,\) giải phương trình tìm \(y,\) đối chiếu với điều kiện xác định sau đó tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Cách giải:
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} = 4\\\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} + \dfrac{{y - 2}}{{y - 1}} = y - x\end{array} \right.\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\y - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\y \ne 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} = 4\\\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} + \dfrac{{y - 2}}{{y - 1}} = y - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} - 2 + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} - 2 = 0\\\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} + x + \dfrac{{y - 2}}{{y - 1}} - y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2} - 2y + 2}}{{y - 1}} = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} - \dfrac{{{y^2} - 2y + 2}}{{y - 1}} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4x - 4}}{{x + 1}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{y - 1}} = 0\\ \Leftrightarrow - 4 + \dfrac{{2{y^2} - 4y + 4}}{{y - 1}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2{y^2} - 4y + 4}}{{y - 1}} = 4\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 4y + 4 = 4y - 4 \Leftrightarrow 2{y^2} - 8y + 8 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {y - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Thay \(y = 2\) vào phương trình \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} = 4\) ta có:
\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{4}{1} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 4 = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right)\).
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 ĐIỂM)
Câu 1: Tìm \(x\) biết \(\sqrt x = 4.\)
A. \(x = 2\) B. \(x = 4\)C. \(x = 8\) D. \(x = 16\)
Câu 2: Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)
A. \(y = - \dfrac{1}{2}x\) B. \(y = - 2x\)C. \(y = 2x + 1\) D. \(y = - 3x + 1\)
Câu 3: Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(y = 3x - 5?\)
A. \(M\left( {3; - 5} \right)\) B. \(N\left( {1; - 2} \right)\) C. \(P\left( {1;\,\,3} \right)\) D. \(Q\left( {3;\,\,1} \right)\)
Câu 4: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\3x + 2y = 4\end{array} \right.\) có nghiệm là:
A. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( { - 2;\,\,5} \right)\) B. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {5; - 2} \right)\) C. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {2;\,\,5} \right)\) D. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {5;\,\,2} \right)\)
Câu 5: Giá trị của hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) tại \(x = - 2\) bằng:
A. \( - 1\) B. \(4\)C. \(2\) D. \(1\)
Câu 6: Biết parabol \(y = {x^2}\) cắt đường thẳng \(y = - 3x + 4\) tại hai điểm phân biệt có hoành độlaà \({x_1};\,\,{x_2}\,\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right).\) Giá trị \(T = 2{x_1} + 3{x_2}\) bằng:
A. \( - 5\) B. \( - 10\) C. \(5\) D. \(10\)
Câu 7: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(\tan C = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) B. \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) C. \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) D. \(\tan C = \dfrac{{AC}}{{AB}}\)
Câu 8: Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AC.\)
Biết \(\angle DBC = {55^0},\) số đo \(\angle ACD\) bằng:
A. \({30^0}\) B. \({40^0}\)
C. \({45^0}\) D. \({35^0}\)
Câu 9: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = a.\) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng:
A. \(a\) B. \(2a\)C. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) D. \(a\sqrt 2 \)
Câu 10: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài bằng \(2m,\) chiều rộng bằng \(1m\) gò thành mặt xung quanh của một hình trụ có chiều cao \(1m,\) (hai cạnh chiều rộng của hình chữ nhật sau khi gò trùng khít nhau) .
Thể tích của hình trụ đó bằng:
A. \(\dfrac{1}{\pi }\,\,\,{m^3}\) B. \(\dfrac{1}{{2\pi }}\,\,\,{m^3}\) C. \(2\pi \,\,{m^3}\) D. \(4\pi \,\,{m^3}\)
PHẦN II: TỰ LUẬN (7,5 ĐIỂM)
Câu 1 (1,5 điểm)
Lớp 9A và lớp 9B của một trường THCS dự định làm 90 chiếc đèn ông sao để tặng các em thiếu nhi nhân dịp Tết Trung Thu. Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn; nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn. Biết rằng số đèn từng lớp làm được trong mỗi ngày là như nhau. Hỏi nếu cả hai lớp cùng làm thì hết bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đã dự định.
Câu 2 (2 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - mx - 3 = 0\) (\(m\) là tham số).
a) Giải phương trình với \(m = 2.\)
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)
c) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(\left( {{x_1} + 6} \right)\left( {{x_2} + 6} \right) = 2019.\)
Câu 3 (3 điểm):
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AD\,\left( {D \in BC} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC,\) kẻ \(AH\) vuông góc với \(BI\) tại \(H.\)
a) Chứng minh tứ giác \(ABDH\) nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDH.\)
b) Chứng minh tam giác \(BDH\) đồng dạng với tam giác \(BIC.\)
c) Chứng minh \(AB.HD = AH.BD = \dfrac{1}{2}AD.BH\)
Câu 4 (1 điểm):
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} = 4\\\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} + \dfrac{{y - 2}}{{y - 1}} = y - x\end{array} \right.\)
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 ĐIỂM)
1. D | 2. C | 3. B | 4. A | 5. C |
6. A | 7. B | 8. D | 9. C | 10. A |
Câu 1- Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba
Phương pháp:
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)
Giải phương trình \(\sqrt x = a \Leftrightarrow x = {a^2}\,\,\,\left( {a \ge 0} \right).\)
Cách giải:
Điều kiện: \(x \ge 0.\)
\(\sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = {4^2} \Leftrightarrow x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 16.\)
Chọn D.
Câu 2 - Hàm số bậc nhất
Phương pháp:
Hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 0\) và nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a < 0.\)
Cách giải:
Trong các đáp án, chỉ có đáp án C có hàm số \(y = 2x + 1\) có \(a = 2 > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Chọn C.
Câu 3 - Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
Phương pháp:
Đường thẳng \(d:\,\,y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b.\)
Cách giải:
+) Xét điểm \(M\left( {3; - 5} \right)\) ta có: \(3.3 - 5 = 4 \ne - 5 \Rightarrow M \notin d:\,\,y = 3x - 5.\)
+) Xét điểm \(N\left( {1; - 2} \right)\) ta có: \(3.1 - 5 = - 2 \Rightarrow N \in d:\,\,y = 3x - 5.\)
Chọn B.
Câu 4 – Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\3x + 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - 2x\\3x + 2\left( {1 - 2x} \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - 2x\\3x + 2 - 4x = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - 2x\\ - x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2.\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 5\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( { - 2;\,\,5} \right).\)
Chọn A.
Câu 5 - Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)
Phương pháp:
Thay \(x = - 2\) vào hàm số đã cho để tìm \(y\left( { - 2} \right).\)
Cách giải:
Thay \(x = - 2\) ta được: \(y\left( { - 2} \right) = \dfrac{1}{2}.{\left( { - 2} \right)^2} = 2.\)
Chọn C.
Câu 6 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số.
Giải phương trình hoành độ \(\left( * \right)\) để tìm hoành độ các giao điểm và tính biểu thức đề bài yêu cầu.
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,y = - 3x + 4\) và parabol \(\left( P \right):\,\,\,y = {x^2}\) là:
\(\begin{array}{l}{x^2} = - 3x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 4\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có: \({x_1} < {x_2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 4\\{x_2} = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow T = 2{x_1} + 3{x_2} = 2.\left( { - 4} \right) + 3.1 = - 5.\)
Chọn A.
Câu 7 - Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: tan = cạnh đối/ cạnh kề.
Cách giải:
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}.\)
Chọn B.
Câu 8 - Góc nội tiếp
Phương pháp:
Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là \({90^0}.\)
Cách giải:
Ta có: \(\angle DBC = {55^0}\) là góc nội tiếp chắn cung
Vì \(AC\) là đường kính của đường tròn
Ta có: \(\angle ACD\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \(AD.\)
Chọn D.
Câu 9 – Đường tròn
Phương pháp:
Tam giác vuông nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền và tâm là trung điểm của cạnh huyền.
Cách giải:
Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) và có \(AB = a \Rightarrow BC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\)
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \Delta ABC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)
\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là: \(R = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Chọn C.
Câu 10 - Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của Hình trụ
Phương pháp:
Thể tích hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \pi {R^2}h.\)
Cách giải:
Ta gò tấm tôn hình chữ nhật đã cho thành hình trụ như đề bài ta được hình trụ có chiều cao \(h = 1\,m\) và chu vi đáy của hình trụ là: \(C = 2\pi R = 2\,m.\)
\( \Rightarrow R = \dfrac{2}{{2\pi }} = \dfrac{1}{\pi }\,\,m.\)
Vậy thể tích của hình trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi .{\left( {\dfrac{1}{\pi }} \right)^2}.1 = \dfrac{1}{\pi }\,\,{m^3}.\)
Chọn A.
PHẦN II: TỰ LUẬN (7,5 ĐIỂM)
Câu 1 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Phương pháp:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi số đèn lồng lớp 9A làm được trong 1 ngày là \(x\) (chiếc đèn) \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,x < 90\,} \right).\)
Số đèn lồng lớp 9B làm được trong 1 ngày là \(y\) (chiếc đèn) \(\left( {y \in \mathbb{N}*,\,y < 90\,} \right).\)
Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn nên ta có phương trình: \(2x + y = 23\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn nên ta có phương trình: \(x + 2y = 22\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 23\\x + 2y = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 23\\2x + 4y = 44\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 21\\x = 22 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 7\\x = 22 - 2.7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 7\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow \) Trong 1 ngày, cả hai lớp làm được số đèn là: \(8 + 7 = 15\) chiếc đèn.
Như vậy cả 2 lớp cùng làm hết 90 chiếc đèn xong trong số ngày là: \(90:15 = 6\) (ngày).
Câu 2 - Ôn tập chương 4: Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai một ẩn
Phương pháp:
a) Thay \(m = 2\) vào phương trình rồi giải phương trình bậc hai một ẩn.
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \Leftrightarrow \Delta > 0\,\,\forall m.\)
c) Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài toán để tìm \(m\) rồi kết luận.
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} - mx - 3 = 0\) (\(m\) là tham số).
a) Giải phương trình với \(m = 2.\)
Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy với \(m = 2\) thì phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - 1;\,\,3} \right\}.\)
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)
Ta có: \(\Delta = {m^2} - 4.\left( { - 3} \right) = {m^2} + 12 > 0\,\,\forall m.\)
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
c) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(\left( {{x_1} + 6} \right)\left( {{x_2} + 6} \right) = 2019.\)
Theo câu b), phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 3\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(\left( {{x_1} + 6} \right)\left( {{x_2} + 6} \right) = 2019\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 6{x_1} + 6{x_2} + 36 = 2019\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1983 = 0\\ \Leftrightarrow - 3 + 6m - 1983 = 0\\ \Leftrightarrow 6m = 1986\\ \Leftrightarrow m = 331.\end{array}\)
Vậy \(m = 331\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 3 - Ôn tập tổng hợp chương 1, 2, 3 - Hình học
Phương pháp:
a) Chỉ ra tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạng dưới các góc bàng nhau là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc.
c) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng tương ứng để suy ra các đẳng thức cần chứng minh.
Cách giải:
a) Chứng minh tứ giác \(ABDH\) nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDH.\)
Xét tứ giác \(AHDB\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHB = {90^0}\,\,\,\left( {AH \bot BI} \right)\\\angle ADB = {90^0}\,\,\,\left( {AD \bot BC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle AHB = \angle ADB = {90^0}.\)
\( \Rightarrow AHDB\) là tứ giác nội tiếp (có hai đỉnh \(D,H\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AB\) dưới các góc vuông).
Gọi \(K\) là trung điểm \(AB\).
Ta có \(\angle AHB,\,\,\angle ADB\) cùng nhìn đoạn \(AB\) dưới góc \({90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,H,\,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB.\)
Vậy \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AHDB.\)
b) Chứng minh tam giác \(BDH\) đồng dạng với tam giác \(BIC.\)
Vì tứ giác \(AHDB\) nội tiếp (theo câu a) nên \(\angle BAD = \angle BHD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)) (1)
Lại có \(\angle BAD = \angle ACB\) (2) (cùng phụ với \(\angle ABD\) )
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle BHD = \angle ICB\left( { = \angle BAD} \right)\)
Xét \(\Delta BHD\) và \(\Delta BCI\) có
c) Chứng minh \(AB.HD = AH.BD = \dfrac{1}{2}AD.BH\)
+) Vì (theo câu b) nên \(\dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{HD}}{{IC}}\) mà \(IC = \dfrac{1}{2}AC\) nên \(\dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{HD}}{{\dfrac{1}{2}AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{HB}}{{HD}} = \dfrac{{2BC}}{{AC}}\) (3)
Từ (5) và (6) ta có \(\dfrac{{DB}}{{HD}} = \dfrac{{AB}}{{AH}} \Leftrightarrow AH.BD = AB.HD\) (**)
Từ (*) và (**) ta có \(AB.HD = AH.BD = \dfrac{1}{2}AD.BH\) (đpcm)
Câu 4 - Hệ phương trình không mẫu mực
Phương pháp:
Biến đổi phương trình thứ nhất và quy đồng phương trình thứ hai sau đó trừ vế với vế của các phương trình.
Đưa về phương trình bậc hai ẩn \(y,\) giải phương trình tìm \(y,\) đối chiếu với điều kiện xác định sau đó tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Cách giải:
Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} = 4\\\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} + \dfrac{{y - 2}}{{y - 1}} = y - x\end{array} \right.\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\y - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\y \ne 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} = 4\\\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} + \dfrac{{y - 2}}{{y - 1}} = y - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} - 2 + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} - 2 = 0\\\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} + x + \dfrac{{y - 2}}{{y - 1}} - y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2} - 2y + 2}}{{y - 1}} = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} - \dfrac{{{y^2} - 2y + 2}}{{y - 1}} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4x - 4}}{{x + 1}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{y - 1}} = 0\\ \Leftrightarrow - 4 + \dfrac{{2{y^2} - 4y + 4}}{{y - 1}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2{y^2} - 4y + 4}}{{y - 1}} = 4\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 4y + 4 = 4y - 4 \Leftrightarrow 2{y^2} - 8y + 8 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {y - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Thay \(y = 2\) vào phương trình \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y - 1}} = 4\) ta có:
\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \dfrac{4}{1} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 4 = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right)\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong sự nghiệp học tập của mỗi học sinh. Để đạt kết quả tốt nhất, việc chuẩn bị kỹ lưỡng là vô cùng cần thiết. Đề thi vào 10 môn Toán Phú Thọ năm 2019 là một nguồn tài liệu quý giá để các em học sinh rèn luyện và nâng cao kiến thức.
Đề thi vào 10 môn Toán Phú Thọ năm 2019 thường bao gồm các dạng bài sau:
Nhìn chung, đề thi vào 10 môn Toán Phú Thọ năm 2019 có độ khó tương đối, tập trung vào các kiến thức cơ bản và nâng cao trong chương trình Toán lớp 9. Tuy nhiên, một số bài toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt.
Để giải phương trình bậc hai, các em có thể sử dụng các phương pháp sau:
Để giải bài toán về hình học phẳng, các em cần nắm vững các định lý, tính chất cơ bản của các hình hình học như tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn,... Ngoài ra, việc vẽ hình chính xác và sử dụng các công cụ hỗ trợ như thước, compa cũng rất quan trọng.
Để giải bài toán về tổ hợp - xác suất, các em cần hiểu rõ các khái niệm về tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, và xác suất. Ngoài ra, việc sử dụng các công thức tính tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, và xác suất một cách chính xác cũng rất quan trọng.
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, các em cần luyện tập thường xuyên với đề thi vào 10 môn Toán Phú Thọ năm 2019. Bên cạnh việc giải đề thi, các em cũng nên xem lại đáp án và lời giải chi tiết để hiểu rõ phương pháp giải từng dạng bài. Ngoài ra, các em có thể tham gia các khóa học luyện thi vào 10 môn Toán tại các trung tâm uy tín để được hướng dẫn và hỗ trợ bởi các giáo viên giàu kinh nghiệm.
Chúc các em học sinh ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10!
