Định lí Pytagore là một trong những định lý quan trọng nhất trong hình học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và đời sống. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ về định lí Pytagore, từ công thức, chứng minh đến các ứng dụng thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi mang đến phương pháp học toán online hiệu quả, giúp bạn dễ dàng tiếp thu và vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập.
Định lí Pythagore là gì? Định lí Pythagore đảo là gì? Ta có thể sử dụng định lí Pythagore để giải quyết các vấn đề nào?
1. Lý thuyết
- Định lí Pythagore:
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) .
- Định lí Pythagore đảo:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
\(\Delta ABC\) có\(\,B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^0}\)
- Ứng dụng của định lí Pythagore
+ Tính độ dài đoạn thẳng
Nhận xét: Nếu tam giác vuông ABC tại A có đường cao AH = h, các cạnh BC = a, AC = b, AB = c thì h.a = b.c.
+ Chứng minh tính chất hình học
Chú ý: AM là đường cao, AC, AD là đường xiên thì đoạn thẳng MC là hình chiếu của đường xiên AC và MD là hình chiếu của đường xiên AD.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 6\)cm, \(AC = 8\)cm.
a) Tính độ dài cạnh \(BC\).
b) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\). Biết \(AH = 4,8\) cm. Tính \(BH,CH\).
Lời giải
a) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên theo định lí Pythagore ta có :
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = \sqrt {100} = 10{\rm{ cm}}.\)
\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) nên theo định lí Pythagore ta có :
\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\\ \Rightarrow B{H^2} = {6^2} - {(4,8)^2} = 12,96 \Rightarrow BH = \sqrt {12,96} = 3,6{\rm{ cm}}.\end{array}\)
Từ đó tính được \(HC = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4\) cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 6\) cm, \(AC = 8\) cm. \(D\) là một điểm sao cho \(BD = 16\) cm, \(CD = 24\) cm. Chứng minh \(\Delta CBD\) không thể là tam giác vuông.
Lời giải
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên theo định lý Pythagore ta có
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = \sqrt {100} = 10{\rm{ cm}}\)
Tam giác \(CBD\) không thể là tam giác vuông vì \({24^2} \ne {10^2} + {16^2}\).
Định lí Pytagore phát biểu rằng: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Công thức toán học biểu diễn định lí này là: a2 + b2 = c2, trong đó 'c' là cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) và 'a', 'b' là hai cạnh góc vuông.
Có rất nhiều cách chứng minh định lí Pytagore. Một trong những cách chứng minh phổ biến nhất là sử dụng diện tích hình vuông. Hãy tưởng tượng một hình vuông lớn có cạnh là (a + b). Bên trong hình vuông này, chúng ta có bốn tam giác vuông bằng nhau, mỗi tam giác có cạnh góc vuông là a và b, và cạnh huyền là c. Diện tích hình vuông lớn bằng (a + b)2. Diện tích của bốn tam giác vuông là 4 * (1/2 * a * b) = 2ab. Diện tích hình vuông nhỏ ở giữa, tạo bởi các cạnh huyền của bốn tam giác, là c2. Do đó, (a + b)2 = 2ab + c2. Khai triển (a + b)2, ta được a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2. Rút gọn, ta có a2 + b2 = c2.
Định lí Pytagore không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng mà còn có rất nhiều ứng dụng thực tế trong đời sống hàng ngày:
Dưới đây là một số bài tập vận dụng định lí Pytagore:
Các bài tập về định lí Pytagore thường gặp các dạng sau:
Ngoài định lí Pytagore, còn có một số định lí liên quan đến tam giác vuông và các tỉ số lượng giác:
Định lí Pytagore là một công cụ toán học vô cùng quan trọng và hữu ích. Việc nắm vững định lí này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học mà còn ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn tại giaibaitoan.com!
