Trong hình học, đường trung bình của tam giác là một khái niệm quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các điểm và đoạn thẳng trong tam giác. Bài viết này trên giaibaitoan.com sẽ cung cấp định nghĩa chi tiết, tính chất và ứng dụng của đường trung bình của tam giác.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách xác định đường trung bình, cách tính độ dài của nó và cách sử dụng nó để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả.
Đường trung bình của tam giác là gì?
1. Lý thuyết
Khái niệm: Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Chú ý:
+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+ Mỗi tam giác có ba đường trung bình.
2. Ví dụ minh họa
+ Tam giác ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC.
+ Nếu $\left\{ \begin{array}{l}DA = DB\\DE{\rm{//}}BC\end{array} \right. \Rightarrow EC = EA$ .
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác. Nói cách khác, cho tam giác ABC, nếu M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC, thì MN được gọi là đường trung bình của tam giác ABC, ký hiệu là MN // BC.
Xét tam giác ABC với A(0;0), B(4;0), C(0;4). Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Tọa độ của M là ((0+4)/2, (0+0)/2) = (2;0). Tọa độ của N là ((0+0)/2, (0+4)/2) = (0;2). Đường thẳng MN có phương trình: (y-0)/(2-0) = (x-2)/(0-2) => y = -x + 2. Đường thẳng BC có phương trình: (y-0)/(4-0) = (x-4)/(0-4) => y = -x + 4. Ta thấy MN song song với BC.
Chứng minh MN // BC:
Xét tam giác ABC. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Suy ra AM = MB và AN = NC. Xét tam giác AMN và tam giác ABC. Ta có:
Vậy tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC (cạnh - góc - cạnh). Do đó, MN // BC.
Chứng minh MN = 1/2 BC:
Vì tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC (cmt) nên:
MN/BC = AM/AB = 1/2
Suy ra MN = 1/2 BC.
Cho tam giác ABC có BC = 10cm. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Tính độ dài MN.
Giải:
MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN = 1/2 BC = 1/2 * 10cm = 5cm.
Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho AM = MB. Điểm N thuộc cạnh AC sao cho AN = NC. Chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Giải:
Vì AM = MB và AN = NC nên M và N là trung điểm của AB và AC. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Gọi D là giao điểm của BN và AM. Chứng minh BD = 2DN.
Giải:
Gọi E là trung điểm của AM. Khi đó NE là đường trung bình của tam giác AMC => NE // MC và NE = 1/2 MC. Vì MC = MB nên NE = 1/2 MB. Mà MB = 2ME nên NE = ME. Xét tam giác ABN, D là giao điểm của AM và BN. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABN với đường thẳng AM, ta có: (AM/ME) * (ED/DN) * (NB/BA) = 1. Thay AM = 2ME và NB/BA = 1/2, ta có: 2 * (ED/DN) * 1/2 = 1 => ED/DN = 1 => ED = DN. Do đó BD = BE + ED = 3DN. Vậy BD = 3DN.
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về định nghĩa và tính chất của đường trung bình của tam giác. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!
