Tứ giác lồi là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học, thường xuất hiện trong các bài toán từ trung học cơ sở đến trung học phổ thông.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, từ lý thuyết, công thức đến các bài tập minh họa, giúp bạn nắm vững kiến thức về tứ giác lồi một cách dễ dàng.
Hãy cùng khám phá thế giới của tứ giác lồi và ứng dụng của nó trong giải toán!
Tứ giác là gì? Tứ giác lồi là gì?
1. Lý thuyết
Khái niệm:
+ Tứ giác là hình gồm bốn đoạn thẳng, trong đó không có hai đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng.
+ Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.
2. Ví dụ minh họa
- Ví dụ: Trong các hình dưới đây, hình 1 được gọi là tứ giác lồi.
- Chú ý: Dạng bài toán thường gặp: Bài toán liên quan đến cạnh và đường chéo của tứ giác lồi
Phương pháp giải:
Ta có thể chia tứ giác thành các tam giác, sau đó vận dụng bất đẳng thức tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABCD. Chứng minh \(AC + BD > \frac{p}{2}\) (p là chu vi tứ giác).
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(IA + IB > AB\);
\(IB + IC > BC\);
\(IC + ID > CD\);
\(ID + IA > AD\).
Cộng từng vế, ta được:
\(IA + IB + IB + IC + IC + ID + ID + IA > AB + BC + CD + DA\)
\(2(IA + IB + IC + ID) > AB + BC + CD + DA\)
\(2[(IA + IB) + (IC + ID)] > p\)
\(2(AC + BD) > p\)
\(AC + BD > \frac{p}{2}\) (đpcm)
Tứ giác lồi là một tứ giác mà tất cả các góc trong đều nhỏ hơn 180 độ. Nói cách khác, nếu nối một điểm bất kỳ bên trong tứ giác với bốn đỉnh của nó, các đoạn thẳng nối này đều nằm hoàn toàn bên trong tứ giác. Đây là một tính chất quan trọng để nhận biết tứ giác lồi.
Tứ giác lồi có nhiều tính chất quan trọng, giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan. Một số tính chất cơ bản bao gồm:
Có một số loại tứ giác lồi đặc biệt, mỗi loại có những tính chất riêng:
Có nhiều công thức để tính diện tích tứ giác lồi, tùy thuộc vào thông tin đã biết:
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có AB = 3cm, BC = 4cm, CD = 5cm, DA = 6cm và AC = 7cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Hướng dẫn: Chia tứ giác ABCD thành hai tam giác ABC và ADC. Sử dụng công thức Heron để tính diện tích mỗi tam giác, sau đó cộng lại để được diện tích tứ giác ABCD.
Bài tập 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = 10cm, CD = 20cm, AD = BC = 13cm. Tính chiều cao của hình thang.
Hướng dẫn: Kẻ hai đường cao từ A và B xuống CD, tạo thành hai tam giác vuông. Sử dụng định lý Pitago để tính chiều cao.
Tứ giác lồi xuất hiện rất nhiều trong thực tế, ví dụ như:
Tứ giác lồi là một khái niệm quan trọng trong hình học, có nhiều tính chất và ứng dụng thực tế. Việc nắm vững kiến thức về tứ giác lồi sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình!
