Trong chương trình học Toán lớp 8, khái niệm về tam giác đồng dạng là một phần kiến thức quan trọng trong chương Hình học. Hiểu rõ định nghĩa hai tam giác đồng dạng là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ lệ, độ dài cạnh và góc.
Bài viết này tại giaibaitoan.com sẽ cung cấp cho bạn một cách tiếp cận dễ hiểu về định nghĩa, các điều kiện nhận biết tam giác đồng dạng, và ứng dụng thực tế của kiến thức này.
Khi nào thì hai tam giác đồng dạng? Tam giác đồng dạng có tính chất gì?
1. Lý thuyết
- Định nghĩa tam giác đồng dạng:
Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau từng đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Chú ý:
Khi tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’.
+ Ta viết $\Delta ABC\,\backsim \,\Delta A'B'C'$ với các đỉnh được ghi theo thứ tự các góc tương ứng bằng nhau.
+ Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=k$ gọi là tỉ số đồng dạng.
- Tính chất của tam giác đồng dạng:
+ Mỗi tam giác đồng dạng với chính tam giác đó
+ Nếu $\Delta ABC\,\backsim \Delta A'B'C'$ thì $\Delta A'B'C'\backsim \,\Delta ABC$.
+ Nếu $\Delta A''B''C''\,\backsim \,\Delta A'B'C'$ và $\Delta A'B'C'\,\backsim \,\Delta ABC$ thì $\Delta A''B''C''\backsim \Delta ABC.$
2. Ví dụ minh họa
$\Delta ABC$ $\backsim $ $\Delta {A}'{B}'{C}'$ nếu $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\hat{A}=\hat{{A}'},\hat{B}=\hat{{B}'},\hat{C}=\hat{{C}'} \\ \frac{AB}{{A}'{B}'}=\frac{BC}{{B}'{C}'}=\frac{CA}{{C}'{A}'} \\ \end{array} \right.$
Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Cụ thể, tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' (ký hiệu: ΔABC ~ ΔA'B'C') khi và chỉ khi:
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, không cần phải chứng minh cả hai điều kiện trên. Có những trường hợp đặc biệt, chỉ cần chứng minh một trong các điều kiện sau:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ∠A = 60°, ∠B = 80°. Tam giác A'B'C' có ∠A' = 60°, ∠B' = 80°. Chứng minh ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Giải: Vì ∠A = ∠A' và ∠B = ∠B', theo trường hợp g-g, ta có ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, ∠A = 90°. Tam giác A'B'C' có A'B' = 6cm, A'C' = 8cm, ∠A' = 90°. Chứng minh ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Giải: Ta có AB/A'B' = 3/6 = 1/2 và AC/A'C' = 4/8 = 1/2. Vì AB/A'B' = AC/A'C' và ∠A = ∠A', theo trường hợp c-g-c, ta có ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Khi hai tam giác đồng dạng, tỉ số giữa hai cạnh tương ứng được gọi là tỉ số đồng dạng. Nếu ΔABC ~ ΔA'B'C' với tỉ số đồng dạng k, thì:
k = AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'
Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi D là điểm trên BC sao cho BD = 2cm. Chứng minh ΔABD ~ ΔCBA.
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh ΔABO ~ ΔCDO.
Định nghĩa hai tam giác đồng dạng là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học. Việc nắm vững định nghĩa, các điều kiện nhận biết và ứng dụng của tam giác đồng dạng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
