Đường trung trực của một đoạn thẳng

Trong hình học phẳng, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của đoạn thẳng. Nói cách khác, đường trung trực chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau và tạo thành một góc vuông tại điểm chia.

Định Nghĩa Chi Tiết

Cho đoạn thẳng AB. Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng d sao cho:

• d vuông góc với AB.
• d đi qua trung điểm I của AB (với I là điểm sao cho AI = IB).

Tính Chất Quan Trọng

Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chứng minh:

Xét điểm M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Gọi I là trung điểm của AB. Theo định nghĩa, MI vuông góc với AB. Xét hai tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

• AI = BI (I là trung điểm của AB)
• MI là cạnh chung
• ∠AMI = ∠BMI = 90°

Do đó, ΔAMI ≅ ΔBMI (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông). Suy ra MA = MB. Vậy M cách đều hai mút A và B của đoạn thẳng AB.

Cách Vẽ Đường Trung Trực

Có nhiều cách để vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng:

1. Cách 1: Sử dụng thước vuông và thước thẳng: Đặt thước vuông sao cho cạnh góc vuông của thước trùng với đoạn thẳng AB. Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.
2. Cách 2: Sử dụng compa:
   • Mở compa với bán kính lớn hơn một nửa độ dài đoạn thẳng AB.
   • Đặt đầu nhọn của compa tại A và vẽ hai cung tròn ở hai phía của đoạn thẳng AB.
   • Giữ nguyên bán kính compa, đặt đầu nhọn tại B và vẽ hai cung tròn cắt hai cung tròn đã vẽ.
   • Nối hai giao điểm của hai cặp cung tròn, ta được đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ứng Dụng Của Đường Trung Trực Trong Giải Toán

Đường trung trực có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến tính chất đối xứng, tìm điểm cách đều hai điểm, và chứng minh các tính chất hình học khác.

Ví dụ 1: Tìm điểm cách đều ba điểm A, B, C

Nếu điểm I là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và đường trung trực của đoạn thẳng BC, thì I cách đều ba điểm A, B, C (IA = IB = IC). Điều này có nghĩa là I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ví dụ 2: Chứng minh một tam giác là tam giác cân

Nếu đường trung trực của một cạnh của tam giác đi qua đỉnh đối diện, thì tam giác đó là tam giác cân.

Bài Tập Thực Hành

Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập về đường trung trực:

1. Cho đoạn thẳng AB dài 6cm. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB.
2. Cho tam giác ABC, biết AB = 5cm, BC = 7cm, AC = 8cm. Tìm điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
3. Chứng minh rằng trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy cũng là đường cao và đường phân giác của góc đỉnh.

Kết Luận

Đường trung trực là một khái niệm quan trọng trong hình học, có nhiều ứng dụng trong giải toán và thực tế. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và cách vẽ đường trung trực sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn. Hy vọng bài viết này trên giaibaitoan.com đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về đường trung trực của một đoạn thẳng.