Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc- cạnh - góc (g.c.g)

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: Góc - Cạnh - Góc (G.C.G)

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác, hay còn gọi là trường hợp góc - cạnh - góc (G.C.G), là một trong những tiêu chí quan trọng để xác định hai tam giác có bằng nhau hay không. Nó phát biểu rằng: Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau, hai góc kề cạnh đó lần lượt bằng hai góc kề cạnh đó của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

1. Phát biểu chính xác của trường hợp G.C.G

Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có:

• Cạnh AB = A'B'
• ∠BAC = ∠B'A'C'
• ∠ABC = ∠A'B'C'

Khi đó, tam giác ABC bằng tam giác A'B'C' (△ABC = △A'B'C').

2. Chứng minh trường hợp G.C.G

Chứng minh trường hợp G.C.G dựa trên việc sử dụng tính chất của tam giác và các phép biến hình. Ý tưởng chính là di chuyển một tam giác lên tam giác kia sao cho chúng trùng khớp hoàn toàn.

Chứng minh:

1. Xét tam giác ABC và A'B'C' có AB = A'B', ∠BAC = ∠B'A'C' và ∠ABC = ∠A'B'C'.
2. Lấy điểm D trên cạnh AC sao cho AD = A'D'.
3. Xét tam giác ABD và A'B'D'. Ta có:
• AB = A'B' (giả thiết)
• ∠BAD = ∠B'A'D' (giả thiết)
• AD = A'D' (cách chọn)
4. Do đó, △ABD = △A'B'D' (c.g.c). Suy ra BD = B'D' và ∠ABD = ∠A'B'D'.
5. Xét tam giác BCD và B'C'D'. Ta có:
• BD = B'D' (cmt)
• ∠ABD = ∠A'B'D' (cmt)
• ∠ABC = ∠A'B'C' (giả thiết)
6. Suy ra ∠DBC = ∠D'B'C' (∠ABC - ∠ABD = ∠A'B'C' - ∠A'B'D').
7. Do đó, △BCD = △B'C'D' (g.c.g). Suy ra BC = B'C' và CD = C'D'.
8. Vậy, AC = AD + DC = A'D' + C'D' = A'C'.
9. Do đó, △ABC = △A'B'C' (c.c.c).

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE, ∠A = ∠D và ∠B = ∠E. Chứng minh rằng △ABC = △DEF.

Giải:

Vì AB = DE, ∠A = ∠D và ∠B = ∠E nên theo trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác (G.C.G), ta có △ABC = △DEF.

Ví dụ 2: Cho hình vẽ (đính kèm hình vẽ minh họa hai tam giác với các góc và cạnh bằng nhau). Chứng minh rằng △ABD = △CBD.

Giải:

Ta có: BD là cạnh chung, ∠ABD = ∠CBD (giả thiết), ∠ADB = ∠CDB (giả thiết). Vậy, △ABD = △CBD (G.C.G).

4. Bài tập luyện tập

Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập về trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác (G.C.G):

1. Cho tam giác PQR và tam giác XYZ có PQ = XY, ∠P = ∠X và ∠Q = ∠Y. Chứng minh rằng △PQR = △XYZ.
2. Cho hình vẽ (đính kèm hình vẽ minh họa hai tam giác với các góc và cạnh bằng nhau). Chứng minh rằng △AMN = △BMN.
3. Cho tam giác ABC có ∠A = 60°, ∠B = 50° và AB = 5cm. Vẽ tam giác A'B'C' sao cho ∠A' = 60°, ∠B' = 50° và A'B' = 5cm. Chứng minh rằng △ABC = △A'B'C'.

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng trường hợp G.C.G, cần đảm bảo rằng:

• Cạnh phải nằm giữa hai góc bằng nhau.
• Thứ tự các yếu tố (góc, cạnh, góc) phải đúng.

Nắm vững trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác (G.C.G) là nền tảng quan trọng để giải các bài toán chứng minh tam giác bằng nhau trong Hình học. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu rõ và áp dụng thành thạo kiến thức này!