Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo của giaibaitoan.com. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Nếu coi mỗi vùng đất của thành phố Königsberg là một đỉnh, mỗi cây cầu là một cạnh nối hai đỉnh thì ta được một đồ thị G như Hình 1.
a) Nếu coi mỗi vùng đất của thành phố Königsberg là một đỉnh, mỗi cây cầu là một cạnh nối hai đỉnh thì ta được một đồ thị G như Hình 1.
Câu hỏi của người dân thành phố trở thành: có hay không cách vẽ bằng một nét bút liền (không nhấc bút) đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần, sao cho điểm kết thúc trùng với điểm xuất phát?
Hãy thử vẽ và đưa ra dự đoán của mình.
b) Nếu không có cây cầu nối giữa A và D nhưng có thêm một cây cầu nối B và C thì ta có đồ thị H như Hình 2. Có thể vẽ một nét liền đi qua tất cả các cạnh của đồ thị này, mỗi cạnh đúng một lần không?
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ và suy luận để trả lời
Lời giải chi tiết:
a) Sau khi thử vẽ, ta dự đoán: không có cách vẽ bằng một nét bút liền (không nhấc bút) đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần, sao cho điểm kết thúc trùng với điểm xuất phát.
b) Ta có thể vẽ một nét liền đi qua tất cả các cạnh của đồ thị này, mỗi cạnh đúng một lần bằng cách lần lượt vẽ các cạnh m, s, r, n, CB, BD, DC.
Chú ý: Ta có thể bắt đầu vẽ từ đỉnh khác và có thể thay đổi thứ tự các cạnh (đường cong) trong khi vẽ miễn là cách vẽ đó thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Mỗi đồ thị sau đây có chu trình Euler không? Nếu có, hãy chỉ ra một chu trình như vậy.
Phương pháp giải:
Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần. Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
Lời giải chi tiết:
a) Đồ thị G:
Ta có d(A) = d(B) = d(C) = d(D) = d(E) = 4.
Vậy đồ thị G có chu trình Euler vì các đỉnh của đồ thị G đều có bậc chẵn.
Chẳng hạn, bắt đầu từ đỉnh A, ta có thể đi theo chu trình Euler: ABECAEDCBDA.
b) Đồ thị H:
Ta có d(A) = d(D) = 4; d(B) = d(C) = 3; d(E) = 2.
Vậy đồ thị H không có chu trình Euler vì hai đỉnh B, C có bậc lẻ.
Hãy chỉ ra một đường đi Euler trên mỗi đồ thị sau. Mỗi đồ thị có bao nhiêu đỉnh bậc lẻ?
Phương pháp giải:
- Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần. Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
- Đỉnh có bậc là số chẵn gọi là đỉnh bậc chẵn, đỉnh có bậc là một số lẻ là đỉnh bậc lẻ.
Lời giải chi tiết:
Một đường đi Euler (từ A đến D) trên đồ thị G là: ACBDAD.
Một đường đi Euler (từ E đến F) trên đồ thị H là: EABFCDEF.
Đồ thị G có: d(A) = 3; d(B) = 2; d(C) = 2; d(D) = 3.Suy ra đồ thị G có hai đỉnh bậc lẻ là A, D.
Đồ thị H có: d(A) = 2; d(B) = 2; d(C) = 2; d(D) = 2; d(E) = 3; d(F) = 3.Suy ra đồ thị H có hai đỉnh bậc lẻ là E, F.
Vậy đồ thị G có 2 đỉnh bậc lẻ, đồ thị H có 2 đỉnh bậc lẻ.
Đồ thị sau có đường đi Euler không? Nếu có, hãy chỉ ra một đường đi như vậy.
Phương pháp giải:
Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần.
Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
Lời giải chi tiết:
Ta có d(A) = d(B) = d(C) = d(D) = 4 và d(E) = d(F) = 3.
Suy ra đồ thị H có đúng 2 đỉnh bậc lẻ là E, F.
Do đó đồ thị H có đường đi Euler.
Chẳng hạn, bắt đầu từ đỉnh E, ta có thể đi theo đường đi Euler: EAabADcdDFCBEF.
Hãy giải đáp câu hỏi của người dân Königsberg ở Hoạt động khởi động (còn gọi là bài toán Bảy cây cầu).
Phương pháp giải:
Kiểm tra xem đồ chu trình có là chu trình Euler không.
Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần. Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
Lời giải chi tiết:
Biểu thị mỗi vùng đất bằng một đỉnh, mỗi cây cầu bằng một cạnh nối hai đỉnh, ta được đồ thị như hình vẽ.
Ta thấy d(A) = 5; d(B) = d(C) = d(D) = 3.
Suy ra tất cả các đỉnh của đồ thị trên đều có bậc lẻ.
Do đó đồ thị không có chu trình Euler.
Nói cách khác, không thể bắt đầu từ một điểm nào đó trong thành phố, đi qua khắp các cây cầu, mỗi cầu chỉ đi qua một lần, rồi quay về điểm xuất phát.
a) Chỉ ra một chu trình Euler của đồ thị G ở Hình 5. Đồ thị này có đỉnh nào bậc lẻ không?
b) Chỉ ra rằng các đồ thị S và T sau đây không có chu trình Euler. Các đồ thị này có đỉnh bậc lẻ không?
Phương pháp giải:
- Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần. Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
- Bậc của một đỉnh A trong đồ thị G là số cạnh của đồ thị nhận đỉnh A làm đầu mút, kí hiệu là \(d(A)\)
- Đỉnh có bậc là số chẵn gọi là đỉnh bậc chẵn, đỉnh có bậc là một số lẻ là đỉnh bậc lẻ.
Lời giải chi tiết:
a) Một chu trình Euler của đồ thị G là: AB, a, b, BC, CD, DE, EA.
Ta có d(A) = 2; d(B) = 4; d(C) = 2; d(D) = 2; d(E) = 4.
Vậy đồ thị đã cho không có đỉnh nào là đỉnh bậc lẻ.
b) Đồ thị S không có chu trình Euler vì nếu một đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh thì cạnh CD bắt buộc phải đi qua ít nhất hai lần; nếu một đường đi bắt đầu tại đỉnh này và kết thúc tại đỉnh kia thì không được gọi là chu trình.
Tương tự như vậy, đồ thị T không có chu trình Euler.
Đồ thị S có: d(A) = 2; d(B) = 2; d(C) = 3; d(D) = 1.Suy ra đồ thị S có hai đỉnh bậc lẻ là C, D.
Đồ thị T có: d(A) = 3; d(B) = 2; d(C) = 3; d(D) = 2.Suy ra đồ thị T có hai đỉnh bậc lẻ là A, C.
Vậy cả hai đồ thị S và T đều có đỉnh bậc lẻ.
a) Nếu coi mỗi vùng đất của thành phố Königsberg là một đỉnh, mỗi cây cầu là một cạnh nối hai đỉnh thì ta được một đồ thị G như Hình 1.
Câu hỏi của người dân thành phố trở thành: có hay không cách vẽ bằng một nét bút liền (không nhấc bút) đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần, sao cho điểm kết thúc trùng với điểm xuất phát?
Hãy thử vẽ và đưa ra dự đoán của mình.
b) Nếu không có cây cầu nối giữa A và D nhưng có thêm một cây cầu nối B và C thì ta có đồ thị H như Hình 2. Có thể vẽ một nét liền đi qua tất cả các cạnh của đồ thị này, mỗi cạnh đúng một lần không?
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ và suy luận để trả lời
Lời giải chi tiết:
a) Sau khi thử vẽ, ta dự đoán: không có cách vẽ bằng một nét bút liền (không nhấc bút) đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần, sao cho điểm kết thúc trùng với điểm xuất phát.
b) Ta có thể vẽ một nét liền đi qua tất cả các cạnh của đồ thị này, mỗi cạnh đúng một lần bằng cách lần lượt vẽ các cạnh m, s, r, n, CB, BD, DC.
Chú ý: Ta có thể bắt đầu vẽ từ đỉnh khác và có thể thay đổi thứ tự các cạnh (đường cong) trong khi vẽ miễn là cách vẽ đó thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a) Chỉ ra một chu trình Euler của đồ thị G ở Hình 5. Đồ thị này có đỉnh nào bậc lẻ không?
b) Chỉ ra rằng các đồ thị S và T sau đây không có chu trình Euler. Các đồ thị này có đỉnh bậc lẻ không?
Phương pháp giải:
- Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần. Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
- Bậc của một đỉnh A trong đồ thị G là số cạnh của đồ thị nhận đỉnh A làm đầu mút, kí hiệu là \(d(A)\)
- Đỉnh có bậc là số chẵn gọi là đỉnh bậc chẵn, đỉnh có bậc là một số lẻ là đỉnh bậc lẻ.
Lời giải chi tiết:
a) Một chu trình Euler của đồ thị G là: AB, a, b, BC, CD, DE, EA.
Ta có d(A) = 2; d(B) = 4; d(C) = 2; d(D) = 2; d(E) = 4.
Vậy đồ thị đã cho không có đỉnh nào là đỉnh bậc lẻ.
b) Đồ thị S không có chu trình Euler vì nếu một đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh thì cạnh CD bắt buộc phải đi qua ít nhất hai lần; nếu một đường đi bắt đầu tại đỉnh này và kết thúc tại đỉnh kia thì không được gọi là chu trình.
Tương tự như vậy, đồ thị T không có chu trình Euler.
Đồ thị S có: d(A) = 2; d(B) = 2; d(C) = 3; d(D) = 1.Suy ra đồ thị S có hai đỉnh bậc lẻ là C, D.
Đồ thị T có: d(A) = 3; d(B) = 2; d(C) = 3; d(D) = 2.Suy ra đồ thị T có hai đỉnh bậc lẻ là A, C.
Vậy cả hai đồ thị S và T đều có đỉnh bậc lẻ.
Hãy chỉ ra một đường đi Euler trên mỗi đồ thị sau. Mỗi đồ thị có bao nhiêu đỉnh bậc lẻ?
Phương pháp giải:
- Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần. Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
- Đỉnh có bậc là số chẵn gọi là đỉnh bậc chẵn, đỉnh có bậc là một số lẻ là đỉnh bậc lẻ.
Lời giải chi tiết:
Một đường đi Euler (từ A đến D) trên đồ thị G là: ACBDAD.
Một đường đi Euler (từ E đến F) trên đồ thị H là: EABFCDEF.
Đồ thị G có: d(A) = 3; d(B) = 2; d(C) = 2; d(D) = 3.Suy ra đồ thị G có hai đỉnh bậc lẻ là A, D.
Đồ thị H có: d(A) = 2; d(B) = 2; d(C) = 2; d(D) = 2; d(E) = 3; d(F) = 3.Suy ra đồ thị H có hai đỉnh bậc lẻ là E, F.
Vậy đồ thị G có 2 đỉnh bậc lẻ, đồ thị H có 2 đỉnh bậc lẻ.
Mỗi đồ thị sau đây có chu trình Euler không? Nếu có, hãy chỉ ra một chu trình như vậy.
Phương pháp giải:
Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần. Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
Lời giải chi tiết:
a) Đồ thị G:
Ta có d(A) = d(B) = d(C) = d(D) = d(E) = 4.
Vậy đồ thị G có chu trình Euler vì các đỉnh của đồ thị G đều có bậc chẵn.
Chẳng hạn, bắt đầu từ đỉnh A, ta có thể đi theo chu trình Euler: ABECAEDCBDA.
b) Đồ thị H:
Ta có d(A) = d(D) = 4; d(B) = d(C) = 3; d(E) = 2.
Vậy đồ thị H không có chu trình Euler vì hai đỉnh B, C có bậc lẻ.
Đồ thị sau có đường đi Euler không? Nếu có, hãy chỉ ra một đường đi như vậy.
Phương pháp giải:
Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần.
Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
Lời giải chi tiết:
Ta có d(A) = d(B) = d(C) = d(D) = 4 và d(E) = d(F) = 3.
Suy ra đồ thị H có đúng 2 đỉnh bậc lẻ là E, F.
Do đó đồ thị H có đường đi Euler.
Chẳng hạn, bắt đầu từ đỉnh E, ta có thể đi theo đường đi Euler: EAabADcdDFCBEF.
Hãy giải đáp câu hỏi của người dân Königsberg ở Hoạt động khởi động (còn gọi là bài toán Bảy cây cầu).
Phương pháp giải:
Kiểm tra xem đồ chu trình có là chu trình Euler không.
Trong đồ thị, một đường đi được gọi là đường đi Euler nếu đường đi đó đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng 1 lần. Nếu chu trình là đường đi Euler thì chu trình đo được gọi là chu trình Euler.
Lời giải chi tiết:
Biểu thị mỗi vùng đất bằng một đỉnh, mỗi cây cầu bằng một cạnh nối hai đỉnh, ta được đồ thị như hình vẽ.
Ta thấy d(A) = 5; d(B) = d(C) = d(D) = 3.
Suy ra tất cả các đỉnh của đồ thị trên đều có bậc lẻ.
Do đó đồ thị không có chu trình Euler.
Nói cách khác, không thể bắt đầu từ một điểm nào đó trong thành phố, đi qua khắp các cây cầu, mỗi cầu chỉ đi qua một lần, rồi quay về điểm xuất phát.
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và áp dụng linh hoạt các công thức, định lý đã học. Việc giải các bài tập từ trang 50 đến trang 54 là cơ hội tuyệt vời để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Để hiểu rõ hơn về Mục 1, chúng ta cần xác định nội dung chính mà chuyên đề này hướng đến. Thông thường, Mục 1 sẽ giới thiệu một khái niệm mới, một định lý quan trọng hoặc một phương pháp giải toán đặc biệt. Việc nắm bắt được nội dung chính này sẽ giúp học sinh tiếp cận các bài tập một cách hiệu quả hơn.
Bài tập 1 trang 50 thường là bài tập áp dụng trực tiếp lý thuyết đã học. Để giải bài tập này, học sinh cần xác định đúng công thức, định lý cần sử dụng và thực hiện các phép tính một cách chính xác. Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, học sinh cần nhớ công thức đạo hàm của hàm số đó và áp dụng nó một cách cẩn thận.
Bài tập 2 trang 51 có thể là bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải kết hợp nhiều kiến thức khác nhau để giải quyết. Trong trường hợp này, học sinh cần phân tích bài toán một cách kỹ lưỡng, xác định các yếu tố quan trọng và tìm ra mối liên hệ giữa chúng. Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu chứng minh một đẳng thức, học sinh cần sử dụng các phép biến đổi đại số để đưa đẳng thức về dạng đơn giản nhất.
Các bài tập từ trang 52 trở đi thường là các bài tập tổng hợp, đòi hỏi học sinh phải vận dụng tất cả các kiến thức đã học trong Mục 1. Để giải các bài tập này, học sinh cần có một cái nhìn tổng quan về toàn bộ chuyên đề và khả năng tư duy logic cao. Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu giải một bài toán thực tế, học sinh cần xây dựng mô hình toán học phù hợp và sử dụng các công cụ toán học để tìm ra lời giải.
Bài tập trang 53 và 54 thường là các bài tập khó, đòi hỏi học sinh phải có sự sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề tốt. Trong trường hợp này, học sinh có thể thử nhiều phương pháp khác nhau để tìm ra lời giải. Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số, học sinh có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp hình học để giải quyết.
Kiến thức trong Mục 1 có ứng dụng rất lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học kỹ thuật. Ví dụ, kiến thức về đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong vật lý, kinh tế học và các ngành kỹ thuật khác. Việc nắm vững kiến thức trong Mục 1 sẽ giúp học sinh có một nền tảng vững chắc để học tập các môn học khác và giải quyết các vấn đề thực tế.
Việc giải các bài tập từ trang 50 đến trang 54 của Mục 1 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo là một quá trình quan trọng để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết của giaibaitoan.com, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và đạt kết quả tốt nhất.
