Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 39 và 40 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Cho hai hình vuông tùy ý ABCD và A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo lần lượt là O và O’ (Hình 4).
Tìm các cặp hình đồng dạng với nhau có trong Hình 5.
Phương pháp giải:
Quan sát hình 5 để tìm các cặp hình đồng dạng
Lời giải chi tiết:
⦁ Xét cặp hình (a) và (b):
Ta có \(O{A_1}\; = {\rm{ }}2OA\) và \(\overrightarrow {O{A_1}} \;,\,\overrightarrow {OA} \) cùng phương.
Suy ra \(\overrightarrow {O{A_1}} = 2\,\overrightarrow {OA} \)
Do đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}.\)
Chứng minh tương tự, ta được \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{B_1}.\)
Vì vậy \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\left( {AB} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}.\)
Khi đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\;\) biến hình (a) thành hình (b).
Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 2 biến hình (a) thành hình (b).
Do đó hình (a) và hình (b) đồng dạng với nhau.
⦁ Ta xét hình (b) và hình (c):
Ta có M là trung điểm B1B’.
Suy ra \(B'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_M}({B_1}).\)
Chứng minh tương tự, ta được \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_M}({A_1}).\)
Do đó
Khi đó \({Đ_M}\) biến hình (b) thành hình (c).
Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 1 biến hình (b) thành hình (c).
Do đó hình (b) và hình (c) đồng dạng với nhau.
⦁ Ta xét hình (a) và hình (c):
Ta có phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\;\) và \({Đ_M}\) biến hình (a) thành hình (c).
Do đó hình (a) và hình (c) đồng dạng với nhau.
Vậy các cặp hình đồng dạng với nhau có trong Hình 5 là: cặp hình (a) và (b); cặp hình (b) và (c); cặp hình (c) và (a).
Cho hai hình vuông tùy ý ABCD và A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo lần lượt là O và O’ (Hình 4).
a) Gọi \({A_1}{B_1}{C_1}{Đ_1}\) là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ . Gọi φ là góc lượng giác (O’A1, O’A’). Tìm ảnh \({A_2}{B_2}{C_2}{Đ_2}\) của hình vuông A1B1C1D1 qua phép quay \({Q_{\left( {O',{\rm{ }}\varphi } \right)}}.\)
b) Cho biết \(\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {O{A_2}} \). Tìm ảnh của hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{Đ_2}\) qua phép vị tự \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}.\)
c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy cho biết ta có thể kết luận là hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau được không. Giải thích.
Phương pháp giải:
Để tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình ta tìm ảnh của các điểm thuộc hình đó qua phép biến hình. Sau đó nối chúng lại với nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Do phép quay là phép dời hình nên ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 cũng là hình vuông có kích thước bằng hình vuông A1B1C1D1.
Theo đề, ta có A1B1C1D1 là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {{\rm{OO}}'} \).
Mà O là tâm của hình vuông ABCD.
Nên ta có O’ là tâm của hình vuông A1B1C1D1.
Mà A2B2C2D2 là ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua \({Q_{(O',\;\varphi )}}\;\) (giả thiết).
Suy ra O’ cũng là tâm của hình vuông A2B2C2D2.
Do đó O’A2 = O’B2 = O’C2 = O’D2.
Để tìm ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 qua ta tìm vị trí các điểm A2, B2, C2, D2 theo thứ tự là ảnh của các điểm A1, B1, C1, D1 qua \({Q_{(O',\;\varphi )}}.\)
Ta có \({A_2}\; = {\rm{ }}{Q_{(O',\;\varphi )}}({A_1}).\)
Suy ra \(O'{A_2}\; = {\rm{ }}O'{A_1}\;,{\rm{ }}(O'{A_1},{\rm{ }}O'{A_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi .\)
Mà \(\varphi {\rm{ }} = {\rm{ }}(O'{A_1},{\rm{ }}O'A')\) (giả thiết).
Do đó A2 nằm trên đường thẳng O’A’.
Vì vậy A2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’A’ thỏa mãn O’A2 = O’A1.
Ta có \({B_2}\; = {\rm{ }}{Q_{(O',\;\varphi )}}({B_1}).\)
Suy ra \(O'{B_2}\; = {\rm{ }}O'{B_1},(O'{B_1},{\rm{ }}O'{B_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi .\)
Ta có O’ là tâm của hình vuông A2B2C2D2 và hình vuông A’B’C’D’.
Khi đó \(\widehat {{A_1}O'B} = {90^o} - \widehat {{A_2}O'{A_1}}\) và \(\widehat {{A_1}O'B'} = {90^o} - \widehat {A'O'{A_1}}\)
Suy ra \(\widehat {{A_1}O'{B_2}} = \widehat {{A_1}O'B'}\)
Do đó B2 nằm trên đường thẳng O’B’.
Vì vậy B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’ thỏa mãn \(O'{B_2}\; = {\rm{ }}O'{B_1}.\)
Chứng minh tương tự, ta được:
⦁ C2 nằm trên đường thẳng O’C’ thỏa mãn O’C2 = O’C1;
⦁ D2 nằm trên đường thẳng O’D’ thỏa mãn O’D2 = O’D1.
Vậy ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ) là hình vuông A2B2C2D2 thỏa mãn A2, B2, C2, D2 lần lượt nằm trên O’A’, O’B’, O’C’, O’D’ và O’B2 = O’C2 = O’D2 = O’A2 = O’A1.
b) Để tìm ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua V(O’, k), ta tìm ảnh của các điểm A2, B2, C2, D2 qua V(O’, k).
Theo đề, ta có \(\overrightarrow {O'A'} = k\overrightarrow {O'{A_2}} \) .
Suy ra \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({A_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}A',{\rm{ }}O'A'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.O'{A_2}.\)
Ta có O’A2 = O’B2 (chứng minh trên) và O’A’ = O’B’ (O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’).
Suy ra \(\frac{{O'{B_2}}}{{O'B'}} = \frac{{O'{A_2}}}{{O'A'}} = \frac{1}{{\left| k \right|}}\)
Do đó O’B’ = |k|.O’B2.
Mà \(\overrightarrow {O'B'} ,\overrightarrow {O'{B_2}} \) cùng phương (B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’).
Suy ra \(\overrightarrow {O'B'} = k.\overrightarrow {O'{B_2}} \)
Do đó \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({B_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}B'.\)
Chứng minh tương tự, ta được \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({C_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}C',{\rm{ }}{V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({Đ_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}D'.\)
Vậy ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}\;\) là hình vuông A’B’C’D’.
c) Từ kết quả của câu a) và b), ta thấy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O’, góc quay φ = (O’A1, O’A’) và phép vị tự tâm O, tỉ số k biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.
Do đó hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau.
Vậy hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau.
Cho hai hình vuông tùy ý ABCD và A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo lần lượt là O và O’ (Hình 4).
a) Gọi \({A_1}{B_1}{C_1}{Đ_1}\) là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ . Gọi φ là góc lượng giác (O’A1, O’A’). Tìm ảnh \({A_2}{B_2}{C_2}{Đ_2}\) của hình vuông A1B1C1D1 qua phép quay \({Q_{\left( {O',{\rm{ }}\varphi } \right)}}.\)
b) Cho biết \(\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {O{A_2}} \). Tìm ảnh của hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{Đ_2}\) qua phép vị tự \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}.\)
c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy cho biết ta có thể kết luận là hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau được không. Giải thích.
Phương pháp giải:
Để tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình ta tìm ảnh của các điểm thuộc hình đó qua phép biến hình. Sau đó nối chúng lại với nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Do phép quay là phép dời hình nên ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 cũng là hình vuông có kích thước bằng hình vuông A1B1C1D1.
Theo đề, ta có A1B1C1D1 là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {{\rm{OO}}'} \).
Mà O là tâm của hình vuông ABCD.
Nên ta có O’ là tâm của hình vuông A1B1C1D1.
Mà A2B2C2D2 là ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua \({Q_{(O',\;\varphi )}}\;\) (giả thiết).
Suy ra O’ cũng là tâm của hình vuông A2B2C2D2.
Do đó O’A2 = O’B2 = O’C2 = O’D2.
Để tìm ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 qua ta tìm vị trí các điểm A2, B2, C2, D2 theo thứ tự là ảnh của các điểm A1, B1, C1, D1 qua \({Q_{(O',\;\varphi )}}.\)
Ta có \({A_2}\; = {\rm{ }}{Q_{(O',\;\varphi )}}({A_1}).\)
Suy ra \(O'{A_2}\; = {\rm{ }}O'{A_1}\;,{\rm{ }}(O'{A_1},{\rm{ }}O'{A_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi .\)
Mà \(\varphi {\rm{ }} = {\rm{ }}(O'{A_1},{\rm{ }}O'A')\) (giả thiết).
Do đó A2 nằm trên đường thẳng O’A’.
Vì vậy A2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’A’ thỏa mãn O’A2 = O’A1.
Ta có \({B_2}\; = {\rm{ }}{Q_{(O',\;\varphi )}}({B_1}).\)
Suy ra \(O'{B_2}\; = {\rm{ }}O'{B_1},(O'{B_1},{\rm{ }}O'{B_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi .\)
Ta có O’ là tâm của hình vuông A2B2C2D2 và hình vuông A’B’C’D’.
Khi đó \(\widehat {{A_1}O'B} = {90^o} - \widehat {{A_2}O'{A_1}}\) và \(\widehat {{A_1}O'B'} = {90^o} - \widehat {A'O'{A_1}}\)
Suy ra \(\widehat {{A_1}O'{B_2}} = \widehat {{A_1}O'B'}\)
Do đó B2 nằm trên đường thẳng O’B’.
Vì vậy B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’ thỏa mãn \(O'{B_2}\; = {\rm{ }}O'{B_1}.\)
Chứng minh tương tự, ta được:
⦁ C2 nằm trên đường thẳng O’C’ thỏa mãn O’C2 = O’C1;
⦁ D2 nằm trên đường thẳng O’D’ thỏa mãn O’D2 = O’D1.
Vậy ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ) là hình vuông A2B2C2D2 thỏa mãn A2, B2, C2, D2 lần lượt nằm trên O’A’, O’B’, O’C’, O’D’ và O’B2 = O’C2 = O’D2 = O’A2 = O’A1.
b) Để tìm ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua V(O’, k), ta tìm ảnh của các điểm A2, B2, C2, D2 qua V(O’, k).
Theo đề, ta có \(\overrightarrow {O'A'} = k\overrightarrow {O'{A_2}} \) .
Suy ra \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({A_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}A',{\rm{ }}O'A'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.O'{A_2}.\)
Ta có O’A2 = O’B2 (chứng minh trên) và O’A’ = O’B’ (O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’).
Suy ra \(\frac{{O'{B_2}}}{{O'B'}} = \frac{{O'{A_2}}}{{O'A'}} = \frac{1}{{\left| k \right|}}\)
Do đó O’B’ = |k|.O’B2.
Mà \(\overrightarrow {O'B'} ,\overrightarrow {O'{B_2}} \) cùng phương (B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’).
Suy ra \(\overrightarrow {O'B'} = k.\overrightarrow {O'{B_2}} \)
Do đó \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({B_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}B'.\)
Chứng minh tương tự, ta được \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({C_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}C',{\rm{ }}{V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}({Đ_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}D'.\)
Vậy ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua \({V_{\left( {O',{\rm{ }}k} \right)}}\;\) là hình vuông A’B’C’D’.
c) Từ kết quả của câu a) và b), ta thấy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O’, góc quay φ = (O’A1, O’A’) và phép vị tự tâm O, tỉ số k biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.
Do đó hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau.
Vậy hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau.
Tìm các cặp hình đồng dạng với nhau có trong Hình 5.
Phương pháp giải:
Quan sát hình 5 để tìm các cặp hình đồng dạng
Lời giải chi tiết:
⦁ Xét cặp hình (a) và (b):
Ta có \(O{A_1}\; = {\rm{ }}2OA\) và \(\overrightarrow {O{A_1}} \;,\,\overrightarrow {OA} \) cùng phương.
Suy ra \(\overrightarrow {O{A_1}} = 2\,\overrightarrow {OA} \)
Do đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}.\)
Chứng minh tương tự, ta được \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{B_1}.\)
Vì vậy \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\left( {AB} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}.\)
Khi đó \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\;\) biến hình (a) thành hình (b).
Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 2 biến hình (a) thành hình (b).
Do đó hình (a) và hình (b) đồng dạng với nhau.
⦁ Ta xét hình (b) và hình (c):
Ta có M là trung điểm B1B’.
Suy ra \(B'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_M}({B_1}).\)
Chứng minh tương tự, ta được \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_M}({A_1}).\)
Do đó
Khi đó \({Đ_M}\) biến hình (b) thành hình (c).
Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 1 biến hình (b) thành hình (c).
Do đó hình (b) và hình (c) đồng dạng với nhau.
⦁ Ta xét hình (a) và hình (c):
Ta có phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\;\) và \({Đ_M}\) biến hình (a) thành hình (c).
Do đó hình (a) và hình (c) đồng dạng với nhau.
Vậy các cặp hình đồng dạng với nhau có trong Hình 5 là: cặp hình (a) và (b); cặp hình (b) và (c); cặp hình (c) và (a).
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết từng bước cho từng bài tập, giúp bạn hiểu rõ cách tiếp cận và giải quyết vấn đề.
Bài tập 1 thường là bài tập áp dụng trực tiếp kiến thức lý thuyết đã học. Để giải bài tập này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, bạn cần sử dụng các quy tắc đạo hàm đã học để tìm ra kết quả.
Bài tập 2 có thể là bài tập nâng cao hơn, yêu cầu bạn kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau. Để giải bài tập này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu giải một phương trình lượng giác, bạn cần sử dụng các công thức lượng giác và phương pháp giải phương trình để tìm ra nghiệm.
Bài tập 3 có thể là bài tập thực tế, yêu cầu bạn áp dụng kiến thức đã học để giải quyết một vấn đề cụ thể. Để giải bài tập này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính diện tích của một mảnh đất hình chữ nhật, bạn cần sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật để tìm ra kết quả.
Bài tập 4 có thể là bài tập tổng hợp, yêu cầu bạn kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau để giải quyết một vấn đề phức tạp. Để giải bài tập này, bạn cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số, bạn cần sử dụng các phương pháp tối ưu hóa để tìm ra kết quả.
Để giải bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả, bạn cần:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những hướng dẫn chi tiết và hữu ích để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 39, 40 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao!
