Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 8. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 44 trang 104 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải bài 44 trang 104 một cách cẩn thận, đảm bảo bạn có thể nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.
Cho hình vuông \(ABCD\). Lấy điểm \(M\) thuộc đường chéo \(BD\). Kẻ \(ME\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\),\(MF\) vuông góc với \(AD\) tại \(F\).
Đề bài
Cho hình vuông \(ABCD\). Lấy điểm \(M\) thuộc đường chéo \(BD\). Kẻ \(ME\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\),\(MF\) vuông góc với \(AD\) tại \(F\).
a) Chứng minh: \(DE = CF;DE \bot CF\).
b) Chứng minh ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) cùng đi qua một điểm.
c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên đường chéo \(BD\) để diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành và công thức tính diện tích tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
Gọi \(H\) là giao điểm của \(DE\) và \(CF\), \(K\) là giao điểm của \(CM\) và \(EF\).
Do \(ABCD\) là hình vuông nên ta có:
\(\widehat {DAB} = 90^\circ ,CD = DA,\widehat {ADB} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC} = 45^\circ \)
a) Ta chứng minh được tam giác \(FDM\) vuông cân tại \(F\).
Suy ra \(FM = DF\)
Tứ giác \(AEMF\) có \(\widehat {MFA} = \widehat {FAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên \(AEMF\) là hình chữ nhật. Suy ra \(AE = FM\).
Do đó \(AE = DF\) (vì cùng bằng \(FM\))
\(\Delta ADE = \Delta DCF\) (c.g.c). Suy ra \(DE = CF\), \(\widehat {AED} = \widehat {DFC}\).
Trong tam giác \(ADE\) vuông tại \(A\), ta có: \(\widehat {AED} + \widehat {ADE} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {DFC} + \widehat {ADE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DFH} + \widehat {FHD} = 90^\circ \). Từ đó ta tính được \(\widehat {DHF} = 90^\circ \). Vậy \(DE \bot CF\).
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được \(BF \bot CE\).
\(\Delta ABM = \Delta CBM\) (c.g.c). Suy ra \(AM = CM\). Mà \(EF = AM\) (vì \(AEMF\) là hình chữ nhật) suy ra \(EF = CM\).
\(\Delta DEF = \Delta FCM\) (c.c.c). Suy ra \(\widehat {DEF} = \widehat {FCM}\) hay \(\widehat {FEH} = \widehat {FCK}\)
Trong tam giác \(HEF\) vuông tại \(H\), ta có \(\widehat {FEH} + \widehat {EFH} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {FCK} + \widehat {EFH} = 90^\circ \) hay \(\widehat {FCK} + \widehat {KFC} = 90^\circ \). Từ đó, ta tính được \(\widehat {CKF} = 90^\circ \). Do đó, \(CK \bot EF\).
Trong tam giác \(CEF\), ta có: \(DE \bot CF,BF \bot CE,CM \bot EF\) nên ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) là các đường cao của tam giác \(CEF\). Vậy ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) cùng đi qua một điểm.
c) Chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) là: \(2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {DF + AF} \right) = 2AD\)
Mà \(AD\) không đổi nên chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất khi \(AEMF\) là hình vuông. Suy ra \(ME = MF\).
Khi đó \(\Delta BEM = \Delta DFM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(BM = DM\) hay \(M\) là trung điểm của \(BC\)
Vậy với \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất.
Bài 44 trang 104 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều thuộc chương trình học về hình học, cụ thể là các kiến thức liên quan đến tứ giác. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:
Bài 44 thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức trên để:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 44, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập. Lưu ý rằng, lời giải này chỉ mang tính chất tham khảo, bạn nên tự mình suy nghĩ và giải bài tập trước khi xem lời giải để rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề bài: Cho tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 6cm, CD = 8cm, DA = 10cm và AC = 12cm. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.
Lời giải:
Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thang, ta cần chứng minh một cặp cạnh đối song song. Ta xét tam giác ABC và tam giác ADC. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos(∠ABC) = (AB2 + BC2 - AC2) / (2 * AB * BC) = (42 + 62 - 122) / (2 * 4 * 6) = (16 + 36 - 144) / 48 = -92 / 48 = -23/12
Vì cos(∠ABC) < 0 nên ∠ABC là góc tù. Tương tự, áp dụng định lý cosin trong tam giác ADC, ta có:
cos(∠ADC) = (AD2 + CD2 - AC2) / (2 * AD * CD) = (102 + 82 - 122) / (2 * 10 * 8) = (100 + 64 - 144) / 160 = 20 / 160 = 1/8
Vì cos(∠ADC) > 0 nên ∠ADC là góc nhọn. Do đó, ∠ABC và ∠ADC là hai góc bù nhau, suy ra AB song song với CD. Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
Đề bài: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ∠A = 60o, ∠C = 120o. Tính các góc B và D.
Lời giải:
Vì AB // CD nên ∠A + ∠D = 180o và ∠B + ∠C = 180o (hai góc kề trong).
Ta có ∠A = 60o nên ∠D = 180o - ∠A = 180o - 60o = 120o.
Ta có ∠C = 120o nên ∠B = 180o - ∠C = 180o - 120o = 60o.
Vậy ∠B = 60o và ∠D = 120o.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, bạn đã có thể tự tin giải bài 44 trang 104 sách bài tập Toán 8 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
