Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 8. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic và dễ tiếp thu nhất.
Cho tam giác ABC cân tại A \(\left( {\widehat A < {{90}^0}} \right)\), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A \(\left( {\widehat A < {{90}^0}} \right)\), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt BD và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:
a) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\);
b) \(BH = CH;\)
c) Tam giác BOC vuông cân;
d) MNPQ là hình vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng tính chất của hai góc phụ nhau để chứng minh.
b) Sử dụng kiến thức về tính chất tam giác cân để chứng minh: Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau.
d) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABD vuông tại D nên \(\widehat {ABD} + \widehat A = {90^0}\)
Tam giác ACE vuông tại E nên \(\widehat {ACE} + \widehat A = {90^0}\)
Do đó, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\)
b) Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)
mà \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) nên \(\widehat {ABC} - \widehat {ABD} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\)
Do đó, \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\). Suy ra, tam giác HBC cân tại H. Do đó, \(BH = CH\)
c) Không có dữ kiện của điểm O trong đề bài
d) Gọi O là giao điểm của CN và BP.
Vì BO là tia phân giác của góc ABD nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{1}{2}\widehat {ABD}\)
Vì CO là tia phân giác của góc ACE nên \(\widehat {{C_2}} = \frac{1}{2}\widehat {ACE}\)
Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cmt) nên \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\).
Do đó, \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = \widehat {{C_2}} + \widehat {{C_3}}\) hay \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB}\). Suy ra, tam giác BOC cân tại O. Do đó, \(OB = OC\)
Ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_2}}\left( { = \widehat {{B_2}}} \right)\) nên ta có:
\(\widehat {{B_3}} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} + \widehat {{C_3}} = \widehat {{B_3}} + \widehat {{B_2}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_3}} = {180^0} - \widehat {BEC} = {90^0}\)
Do đó, \(\widehat {BOC} = {90^0}\) nên \(BO \bot NQ\)
Tam giác BMH và tam giác CQH có:
\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) (cmt), \(BH = CH\) (cmt), \(\widehat {BHM} = \widehat {CHQ}\) (hai góc đối đỉnh). Do đó, \(\Delta BMH = \Delta CQH\left( {g - c - g} \right)\). Suy ra: \(BM = CQ\)
Do đó, \(OB - BM = OC - QC\) nên \(OM = OQ\) (1)
Tam giác BNQ có BO là đường cao đồng thời phân giác đồng thời là đường cao nên tam giác BNQ cân tại B.
Suy ra, BO là đường trung tuyến nên \(ON = OQ\) (2)
Chứng minh tương tự ta có: \(OM = OP\) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(OM = OQ = OP = ON\)
Do đó, \(ON + OQ = OM + OP\) hay \(NQ = MP\)
Tứ giác MNPQ có: \(OM = OP;OQ = ON\) nên MNPQ là hình bình hành, mà \(NQ = MP\) nên MNPQ là hình chữ nhật. Lại có: \(MP \bot NQ\) nên MNPQ là hình vuông.
Bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 8, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hình học, cụ thể là các tính chất của hình thang cân. Bài tập này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ định nghĩa, các tính chất đặc trưng của hình thang cân và biết cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.
Bài 4 trang 72 thường xoay quanh việc chứng minh một tứ giác là hình thang cân dựa trên các điều kiện cho trước, hoặc tính toán các yếu tố như độ dài cạnh, góc, đường chéo của hình thang cân. Đôi khi, bài tập cũng yêu cầu học sinh phải vẽ hình chính xác và phân tích các mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình.
Để minh họa, chúng ta sẽ xem xét một dạng bài tập thường gặp:
Đề bài: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng EA = EB nếu và chỉ nếu ABCD là hình thang cân.
Lời giải:
Nếu ABCD là hình thang cân thì AD = BC. Xét tam giác ADE và tam giác BCE, ta có:
Do đó, tam giác ADE = tam giác BCE (g.c.g) => EA = EB.
Nếu EA = EB thì tam giác ADE = tam giác BCE (g.c.g) (vì ∠DAE = ∠CBE, ∠AED = ∠BEC, EA = EB). Suy ra AD = BC. Do đó, ABCD là hình thang cân.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập hình thang cân, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Hãy tìm kiếm các bài tập có độ khó tăng dần để thử thách bản thân và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.
Bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về hình thang cân và các tính chất của nó. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết và các mẹo giải bài tập trên đây, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
