Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 5 trang 65 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu và hiệu quả.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.
Cho hình bình hành ABCD có \(AD = 2AB\). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N.
Đề bài
Cho hình bình hành ABCD có \(AD = 2AB\). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MDCN là hình thoi;
b) Tam giác EMC là tam giác cân;
c) \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình thoi để chứng minh: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
b) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết tam giác cân để chứng minh: Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tam giác cân.
c) Sử dụng kiến thức về tính chất của hình thoi để chứng minh: Hình thoi có hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Lời giải chi tiết
Xét bài toán phụ 1: Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Lấy P đối xứng với M qua N. Chứng minh rằng MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\).
Chứng minh:
Tam giác AMN và tam giác CPN có:
\(NA = NC\left( {gt} \right),\widehat {{N_1}} = \widehat {{N_2}}\) (hai góc đối đỉnh), \(NM = NP\) (gt)
Do đó, \(\Delta ANM = \Delta CNP\left( {c - g - c} \right)\)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên CP//AB hay CP//BM
Lại có: \(CP = AM = BM\)
Tứ giác BMPC có: CP//BM, \(CP = BM\) nên tứ giác BMPC là hình bình hành. Do đó, MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\)
Xét bài toán phụ 2: Cho hình thang ABCD với AD//BC \(\left( {AD < BC} \right)\). Qua điểm D vẽ đường thẳng DE song song với AB (E thuộc BC); gọi N, Q lần lượt là trung điểm của cạnh DC, DE, M là giao điểm của NQ và AB. Chứng minh rằng \(MA = MB\)
Chứng minh:
Xét tam giác DEC có N, Q lần lượt là trung điểm của DC, DE nên NQ//EC, \(NQ = \frac{1}{2}EC\) (theo bài toán phụ 1)
Suy ra: MQ//BE//AD
Theo giả thiết: DE//AB
Tứ giác ADQM có: MQ/ //AD, MA//QD (gt) nên tứ giác ADQM là hình bình hành. Do đó: \(MA = QD\)
Tứ giác MBEQ có: MQ//BE, BM//QE nên tứ giác MBEQ là hình bình hành. Do đó, \(MB = QE\)
Lại có: \(QD = QE\) (gt) suy ra: \(MA = MB\)
Giải bài 5:
a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AD//BC
Vì \(MF \bot CE,AB \bot CE\) nên MF//AB. Suy ra: AB//CD//MF
Tứ giác MDCN có: MD//NC (cmt), MN//CD (cmt) nên tứ giác MDCN là hình bình hành.
Lại có: \(MD = \frac{1}{2}AD = CD\) nên MDCN là hình thoi.
b) Xét tứ giác ADCE có: AE//CD (theo câu a)
Do đó, tứ giác ADCE là hình thang.
Hình thang ADCE có: M là trung điểm của AD (giả thiết), AE//MF//CD (theo câu a)
Theo bài toán phụ 2 ta có F là trung điểm của CE.
Xét tam giác ECM có: MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE, \(MF \bot CE\) (gt) nên tam giác EMC cân tại M.
c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên \(\widehat {NMD} = 2\widehat {NMC}\) (tính chất đường chéo của hình thoi)
Ta có: \(\widehat {BAD} = \widehat {NMD} = 2\widehat {NMC} = 2\widehat {EMF}\) (1)
Lại có: \(\widehat {AEM} = \widehat {EMF}\) (do AB//MN, hai góc so le trong) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)
Bài 5 trang 65 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 8, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hình học, cụ thể là các tính chất của hình thang cân. Bài tập yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các định nghĩa, định lý liên quan đến hình thang cân để giải quyết các bài toán thực tế.
Bài tập 5 trang 65 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giải quyết bài tập 5 trang 65 một cách hiệu quả, các em cần:
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), AB = 6cm, CD = 10cm, AD = 5cm. Tính độ dài đường cao AH của hình thang.
Lời giải:
Kẻ AH vuông góc với CD (H thuộc CD). Do ABCD là hình thang cân nên DH = (CD - AB) / 2 = (10 - 6) / 2 = 2cm.
Xét tam giác vuông ADH, ta có: AH2 = AD2 - DH2 = 52 - 22 = 21.
Vậy AH = √21 cm.
Để học tốt môn Toán 8, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Bài 5 trang 65 sách bài tập Toán 8 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về hình thang cân. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tốt!
