Bài 5.29 trang 71 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài toán này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD. a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE. b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân. c) Biết rằng (AB = 12cm) và (widehat {COD} = {100^o}). Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC. d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Đề bài
Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD.
a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE.
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân.
c) Biết rằng \(AB = 12cm\) và \(\widehat {COD} = {100^o}\). Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC.
d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh tam giác COD cân tại O, suy ra OE là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Vậy C và D đối xứng với nhau qua OE.
+ Chứng minh \(OE \bot CD\), mà CD//AB nên \(OE \bot AB\).
+ Chứng minh OE là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Do đó, A và B đối xứng với nhau qua OE.
b) + Chứng minh OE là đường phân giác của góc COD, suy ra \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_3}}\).
+ Ta có:
\(\widehat {AOC} = \widehat {AOE} + \widehat {EOC} \\= {90^o} + \widehat {{O_3}} = {90^o} + \widehat {{O_2}} = \widehat {DOE} + \widehat {EOB} = \widehat {DOB}\)
+ Chứng minh \(\Delta AOC = \Delta DOB\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(AC = BD\).
+ Tứ giác ABCD có: AB//CD nên ABCD là hình thang. Mà \(AC = BD\) nên ABCD là hình thang cân.
c) +Tính được bán kính của (O) bằng 6cm.
+ \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_3}} = \frac{1}{2}\widehat {COD},\widehat {AOC} = \widehat {AOE} + \widehat {{O_2}}\), từ đó tính được sđ$\overset\frown{AD}$nhỏ \( = {140^o}\), suy ra độ dài cung nhỏ AD.
+ sđ$\overset\frown{AC}$lớn\( = {360^o} - \widehat {AOC}\) nên tính được độ dài cung lớn AC.
d) + Tính góc BOD nên tính được cung nhỏ BD nên sđ$\overset\frown{BD}$nhỏ từ đó tính được diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(OC = OD\) nên tam giác COD cân tại O. Do đó, OE là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực của tam giác COD hay OE là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
Vậy C và D đối xứng với nhau qua OE.
Vì OE là đường trung trực của đoạn thẳng CD nên \(OE \bot CD\).
Mà CD//AB nên \(OE \bot AB\).
Mà O là trung điểm của AB do đó OE là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó, A và B đối xứng với nhau qua OE.
b) Tam giác COD cân tại O nên OE là đường trung trực và là đường phân giác của góc COD, suy ra \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_3}}\).
Ta có:
\(\widehat {AOC} = \widehat {AOE} + \widehat {EOC} \\= {90^o} + \widehat {{O_3}} = {90^o} + \widehat {{O_2}} = \widehat {DOE} + \widehat {EOB} = \widehat {DOB}\)
Tam giác AOC và tam giác DOB có: \(OA = OB = OC = OD\), \(\widehat {AOC} = \widehat {DOB}\) nên \(\Delta AOC = \Delta DOB\left( {c.g.c} \right)\)
Suy ra \(AC = BD\).
Tứ giác ABCD có: AB//CD nên ABCD là hình thang.
Mà \(AC = BD\) nên ABCD là hình thang cân.
c) Vì \(AB = 12cm\) nên bán kính của (O) bằng 6cm.
Lại có: \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_3}} = \frac{1}{2}\widehat {COD} = {50^o},\)
\(\widehat {AOC} = \widehat {AOE} + \widehat {{O_2}} = {90^o} + {50^o} = {140^o}\).
Vì AOD là góc ở tâm chắn cung nhỏ AD nên sđ$\overset\frown{AD}$nhỏ\( = \widehat {AOD} = {90^o} - \widehat {{O_2}} = {40^o}\).
Độ dài cung nhỏ AD là:
\({l_{AD}} = \frac{{40}}{{180}}.\pi .6 = \frac{4}{3}\pi \left( {cm} \right)\)
Vì AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC nên sđ$\overset\frown{AC}$lớn\( = {360^o} - \widehat {AOC} = {220^o}\).
Độ dài cung lớn AC là:
\({l_{AC}} = \frac{{220}}{{180}}.\pi .6 = \frac{{22}}{3}\pi \left( {cm} \right)\)
d) \(\widehat {BOD} = \widehat {BOE} + \widehat {{O_2}} = {90^o} + {50^o} = {140^o}\).
Vì BOD là góc ở tâm chắn cung nhỏ BD nên sđ$\overset\frown{BD}$nhỏ\( = \widehat {BOD} = {140^o}\).
Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD là:
\({S_q} = \frac{{140}}{{360}}.\pi {.6^2} = 14\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Bài 5.29 trang 71 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 yêu cầu giải một bài toán thực tế liên quan đến hệ phương trình bậc hai. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định rõ các đại lượng, lập hệ phương trình và giải hệ phương trình đó để tìm ra nghiệm.
Đề bài thường mô tả một tình huống cụ thể, ví dụ như việc mua hàng, tính toán chi phí, hoặc xác định vận tốc, thời gian. Bước đầu tiên là đọc kỹ đề bài, xác định các đại lượng cần tìm và mối quan hệ giữa chúng.
Dựa vào các mối quan hệ đã xác định, chúng ta lập hệ phương trình bậc hai. Hệ phương trình này sẽ bao gồm hai phương trình với hai ẩn số. Việc lập hệ phương trình chính xác là bước quan trọng để giải bài toán thành công.
Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình bậc hai, bao gồm phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, và phương pháp sử dụng định thức. Tùy thuộc vào cấu trúc của hệ phương trình, chúng ta có thể lựa chọn phương pháp phù hợp nhất.
Sau khi giải hệ phương trình, chúng ta cần kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo rằng nghiệm đó thỏa mãn điều kiện của bài toán. Nếu nghiệm không thỏa mãn, chúng ta cần xem xét lại quá trình giải và tìm ra lỗi sai.
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 5.29 trang 71, chúng tôi xin trình bày lời giải chi tiết như sau:
(Giả sử đề bài là: Một người mua 3 kg cam và 2 kg táo hết 150.000 đồng. Nếu người đó mua 2 kg cam và 3 kg táo thì hết 140.000 đồng. Tính giá tiền 1 kg cam và 1 kg táo.)
Nhân phương trình thứ nhất với 2 và phương trình thứ hai với 3, ta được:
Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:
5y = 120.000
y = 24.000
Thay y = 24.000 vào phương trình 3x + 2y = 150.000, ta được:
3x + 2(24.000) = 150.000
3x + 48.000 = 150.000
3x = 102.000
x = 34.000
Để nắm vững kiến thức về hệ phương trình bậc hai, các em học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự. Các em có thể tìm thấy các bài tập này trong sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 hoặc trên các trang web học toán online.
Lưu ý: Đây chỉ là một ví dụ minh họa. Đề bài của bài 5.29 trang 71 có thể khác. Các em học sinh cần tự giải bài toán dựa trên đề bài cụ thể.
