Bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài toán này, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A; b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh \(\widehat {DAH} = 2\widehat {BAH}\), \(\widehat {HAE} = 2\widehat {HAC}\), \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^o}\) suy ra \(\widehat {DAH} + \widehat {HAE} = {180^o}\)
Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.
+ Vì D, E thuộc (A; AH) nên \(AE = AD\). Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A.
b) + Gọi O là trung điểm của BC.
+ Chứng minh A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC.
+ Chứng minh \(\widehat {HBA} = \widehat {HAC}\), \(\widehat {HAC} = \widehat {CAE}\) nên \(\widehat {HBA} = \widehat {CAE}\).
+ Chứng minh \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\).
+ Chứng minh \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^o}\), suy ra \(\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_1}} = {90^o}\) hay \(\widehat {OAE} = {90^o}\), suy ra \(DE \bot OA\) tại A, suy ra, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(BC \bot AH\) tại H nên BC là tiếp tuyến của (A), mà BD là tiếp tuyến của (A) nên AB là phân giác của góc DAH, suy ra \(\widehat {DAH} = 2\widehat {BAH} = 2\widehat {DAB}\).
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {HAE} = 2\widehat {HAC} = 2\widehat {CAE}\).
Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^o}\).
Ta có: \(\widehat {DAH} + \widehat {HAE} = 2\widehat {BAH} + 2\widehat {HAC} \\= 2\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = {2.90^o} = {180^o}\)
Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Vì D, E thuộc (A; AH) nên \(AE = AD\). Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A.
b) Gọi O là trung điểm của BC.
Tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến nên \(AO = OB = OC\). Do đó, A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC.
Ta có:
\(\widehat {HBA} + \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {HAC}\left( { = {{90}^o}} \right)\) nên \(\widehat {HBA} = \widehat {HAC}\).
Mà \(\widehat {HAC} = \widehat {CAE}\) nên \(\widehat {HBA} = \widehat {CAE}\)
Vì \(AO = OC\) nên tam giác AOC cân tại O, suy ra \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\)
Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^o}\), suy ra \(\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_1}} = {90^o}\) hay \(\widehat {OAE} = {90^o}\).
Do đó, \(DE \bot OA\) tại A.
Do đó, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.
Bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài toán ứng dụng thực tế, yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về hệ phương trình bậc hai để giải quyết. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài toán này:
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h. Nếu vận tốc tăng thêm 5km/h thì thời gian đi từ A đến B giảm đi 18 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.
Bài toán này liên quan đến chuyển động đều và mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian. Chúng ta cần xác định các đại lượng đã cho và các đại lượng cần tìm, sau đó thiết lập phương trình để giải.
Thời gian đi với vận tốc 40km/h là: 108/40 = 2.7 giờ
Thời gian đi với vận tốc 45km/h là: 108/45 = 2.4 giờ
Hiệu thời gian là: 2.7 - 2.4 = 0.3 giờ (tương đương 18 phút), phù hợp với đề bài.
Để luyện tập thêm, bạn có thể tham khảo các bài toán tương tự trong sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1, hoặc tìm kiếm trên giaibaitoan.com.
Bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài toán ứng dụng quan trọng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc hai và áp dụng vào các bài toán thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh có thể tự tin giải bài toán này một cách chính xác.
