Bài 6.35 trang 20 sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình bậc hai. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để tìm ra nghiệm của phương trình.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm hai số u và v, biết: a) (u - v = 2,uv = 255); b) ({u^2} + {v^2} = 346,uv = 165).
Đề bài
Tìm hai số u và v, biết:
a) \(u - v = 2,uv = 255\);
b) \({u^2} + {v^2} = 346,uv = 165\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Từ \(u - v = 2\) ta có: \(u = 2 + v\).
+ Thay \(u = 2 + v\) vào \(uv = 255\) được phương trình \(\left( {2 + v} \right)v = 255\) hay \({v^2} + 2v - 255 = 0\)
+ Tính v của phương trình dựa vào công thức nghiệm thu gọn, từ đó tính được u.
b) + Ta có: \({\left( {u + v} \right)^2} = {u^2} + 2uv + {v^2}\). Từ đó tính được \(u + v\).
+ Hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\) (điều kiện \({S^2} - 4P \ge 0\)).
Lời giải chi tiết
a) Từ \(u - v = 2\) ta có: \(u = 2 + v\).
Thay \(u = 2 + v\) vào \(uv = 255\) ta nhận được phương trình \(\left( {2 + v} \right)v = 255\), hay \({v^2} + 2v - 255 = 0\).
Ta có: \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 255} \right) = 256 > 0,\sqrt \Delta = 16\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm: \({v_1} = \frac{{ - 1 + 16}}{1} = 15;{v_2} = \frac{{ - 1 - 16}}{1} = - 17\).
Vậy cặp số (u; v) cần tìm là \(\left( {17;15} \right)\) hoặc \(\left( { - 15; - 17} \right)\).
b) Ta có: \({\left( {u + v} \right)^2} = {u^2} + 2uv + {v^2} = 346 + 2.165 = 676\). Do đó, \(u + v = 26\) hoặc \(u + v = - 26\).
Nếu \(u + v = 26\) thì hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 26x + 165 = 0\).
Ta lại có: \(\Delta ' = {\left( { - 13} \right)^2} - 1.165 = 4 > 0,\sqrt \Delta = 2\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{13 + 2}}{1} = 15;{x_2} = \frac{{13 - 2}}{1} = 11\).
Nếu \(u + v = - 26\) hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - \left( { - 26} \right)x + 165 = 0\).
Ta có: \(\Delta ' = {13^2} - 1.165 = 4 > 0,\sqrt \Delta = 2\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 13 + 2}}{1} = - 11;{x_2} = \frac{{ - 13 - 2}}{1} = - 15\).
Vậy \(\left( {u;v} \right) \in \left\{ {\left( {11;15} \right);\left( {15;11} \right);\left( { - 15; - 11} \right);\left( { - 11; - 15} \right)} \right\}.\)
Bài 6.35 yêu cầu giải phương trình: (x - 3)^2 = 4
Đây là phương trình bậc hai được viết dưới dạng bình phương của một tổng. Để giải, ta có thể sử dụng phương pháp khai phương hai vế.
Ta có: (x - 3)^2 = 4
Khai phương hai vế, ta được:
x - 3 = ±2
Trường hợp 1: x - 3 = 2
=> x = 2 + 3 = 5
Trường hợp 2: x - 3 = -2
=> x = -2 + 3 = 1
Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = 5 và x = 1
Phương pháp khai phương hai vế chỉ áp dụng được khi vế phải của phương trình là một số không âm. Trong trường hợp này, vế phải là 4, một số dương, nên ta có thể áp dụng phương pháp này.
Ngoài phương pháp khai phương hai vế, ta cũng có thể giải phương trình này bằng cách biến đổi về phương trình bậc hai tổng quát và sử dụng công thức nghiệm.
Cụ thể:
(x - 3)^2 = 4
x^2 - 6x + 9 = 4
x^2 - 6x + 5 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
Trong đó: a = 1, b = -6, c = 5
Δ = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16
x1 = (6 + √16) / 2 = (6 + 4) / 2 = 5
x2 = (6 - √16) / 2 = (6 - 4) / 2 = 1
Kết quả vẫn là x = 5 và x = 1
Phương trình bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Việc nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai là rất quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế và nâng cao khả năng tư duy toán học.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải bài 6.35 trang 20 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 2. Chúc các em học tập tốt!
