Bài 9.52 trang 62 sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) có các đường cao AD, BE, CF. Cho EF cắt BC tại K. Chứng minh rằng: a) KB. KC = KE. KF; b) (frac{{KB}}{{KC}} = frac{{DB}}{{DC}}).
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) có các đường cao AD, BE, CF. Cho EF cắt BC tại K. Chứng minh rằng:
a) KB. KC = KE. KF;
b) \(\frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh tứ BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC, suy ra \(\widehat {KFB} = {180^o} - \widehat {BFE} = \widehat {BCE}\).
+ Chứng minh $\Delta KFB\backsim \Delta KCE\left( g.g \right)$, suy ra KB. KC = KE. KF.
b) + Chứng minh $\Delta KEB\backsim \Delta KCF\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{EB}}{{CF}}\).
+ Chứng minh \(\frac{{KB}}{{KE}} = \frac{{FB}}{{CE}}\) suy ra \(\frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KE}}.\frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{BF}}{{CF}}.\frac{{BE}}{{CE}}\) (1)
+ Chứng minh $\Delta BDF\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$ nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{BF}}{{BC}}\), tương tự ta có \(\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{CE}}{{BC}}\) nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{BF}}{{CE}}.\frac{{AB}}{{AC}}\) (2)
+ Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$, suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BE}}{{CF}}\) (3).
+ Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}\) nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh tương tự ta có: tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn đường kính AC, tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên \(\widehat {KFB} = {180^o} - \widehat {BFE} = \widehat {BCE}\).
Tam giác KFB và tam giác KCE có: \(\widehat {KFB} = \widehat {BCE}\), góc K chung.
Suy ra: $\Delta KFB\backsim \Delta KCE\left( g.g \right)$. Suy ra, \(\frac{{KF}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KE}}\), hay KB. KC = KE. KF.
b) Hai tam giác KEB và tam giác KCF có: \(\widehat {KEB} = \widehat {KCF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF của đường tròn đường kính BC), góc K chung nên $\Delta KEB\backsim \Delta KCF\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{EB}}{{CF}}\).
Mặt khác: \(\frac{{KB}}{{KE}} = \frac{{FB}}{{CE}}\) (do $\Delta KFB\backsim \Delta KCE\left( cmt \right)$). Suy ra: \(\frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KE}}.\frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{BF}}{{CF}}.\frac{{BE}}{{CE}}\) (1)
Chứng minh tương tự ta có: hai tam giác BDF và tam giác BAC có:
\(\widehat {BDF} = {180^o} - \widehat {FDC} = \widehat {BAC};\widehat {DBF} = \widehat {ABC}\).
Suy ra: $\Delta BDF\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{BF}}{{BC}}\). Tương tự ta có: \(\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{CE}}{{BC}}\) nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{BF}}{{CE}}.\frac{{AB}}{{AC}}\) (2)
Mà $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ (hai tam giác vuông có chung góc nhọn BAC). Do đó, \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BE}}{{CF}}\) (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).
Bài 9.52 trang 62 sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức tập 2 yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 và thực hiện các yêu cầu sau:
1. Xác định hệ số a, b, c:
Hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 có dạng f(x) = ax2 + bx + c. Do đó:
2. Tính đỉnh của parabol:
Hoành độ đỉnh của parabol là x0 = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 1) = 2.
Tung độ đỉnh của parabol là y0 = f(x0) = f(2) = 22 - 4 * 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.
Vậy, đỉnh của parabol là (2; -1).
3. Vẽ đồ thị của hàm số:
Để vẽ đồ thị, ta cần xác định một vài điểm thuộc đồ thị. Ngoài đỉnh (2; -1), ta có thể tính thêm:
Vẽ parabol đi qua các điểm này, với đỉnh là (2; -1).
4. Tìm các điểm mà tại đó hàm số có giá trị bằng 0:
Giải phương trình f(x) = 0:
x2 - 4x + 3 = 0
Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
x1 = (-b + √Δ) / (2a) = (4 + 2) / 2 = 3
x2 = (-b - √Δ) / (2a) = (4 - 2) / 2 = 1
Vậy, hàm số có giá trị bằng 0 tại x = 1 và x = 3.
5. Xác định khoảng giá trị của x để hàm số có giá trị dương:
Hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 có giá trị dương khi f(x) > 0.
Vì parabol có hệ số a = 1 > 0, nên hàm số có giá trị dương khi x < 1 hoặc x > 3.
Thông qua việc giải bài 9.52 trang 62 sách bài tập Toán 9 Kết nối tri thức tập 2, chúng ta đã củng cố kiến thức về hàm số bậc hai, bao gồm cách xác định hệ số, tính đỉnh, vẽ đồ thị, tìm nghiệm và xác định khoảng giá trị của x để hàm số có giá trị dương. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai trong chương trình học Toán 9.
Để hiểu sâu hơn về hàm số bậc hai, bạn có thể tìm hiểu thêm về:
