Bài 6.24 trang 14 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài toán này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. a) Biết diện tích của mảnh vườn là (108{m^2}), hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. b) Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?
Đề bài
Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
a) Biết diện tích của mảnh vườn là \(108{m^2}\), hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
b) Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y(m). Điều kiện: \(0 < x < y\).
a) + Theo đề bài tính được x+y và xy.
+ Do đó, x và y là nghiệm của phương trình \({A^2} - \left( {x + y} \right)A + xy = 0\), với x+y và xy đã tính ở trên.
+ Giải phương trình ẩn A vừa thu được và rút ra kết luận.
b) + Gọi \(S\left( {{m^2}} \right)\) là diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật mà bác Long có thể rào được.
+ Ta có: \(x + y = 24\), \(xy = S\) nên x và y là hai nghiệm của phương trình: \({A^2} - 24A + S = 0\).
+ Phương trình vừa thu được có nghiệm khi \(\Delta ' \ge 0\).
+ Giải bất phương trình thu được và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y(m). Điều kiện: \(0 < x < y\).
a) Vì diện tích của mảnh vườn là \(108{m^2}\) nên \(xy = 108\)
Vì bác Long dùng 48 mét lưới để rào xung quanh mảnh vườn nên tổng chiều dài và chiểu rộng là: \(2\left( {x + y} \right) = 48\) hay \(x + y = 24\).
Do đó, x và y là hai nghiệm của phương trình: \({A^2} - 24A + 108 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 12} \right)^2} - 1.108 = 36 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({A_1} = \frac{{12 + \sqrt {36} }}{1} = 18\) (thỏa mãn), \({A_2} = \frac{{12 - \sqrt {36} }}{1} = 6\) (thỏa mãn). Do đó, \(x = 6m,y = 18m\).
Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là 6m và 18m.
b) Gọi \(S\left( {{m^2}} \right)\) là diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật mà bác Long có thể rào được.
Ta có: \(x + y = 24\), \(xy = S\).
Do đó, x và y là hai nghiệm của phương trình: \({A^2} - 24A + S = 0\) (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi \(\Delta ' = {\left( { - 12} \right)^2} - 1.S = 144 - S \ge 0\), suy ra \(S \le 144\).
Khi \(S = 144\) thì phương trình (*) có nghiệm kép \({A_1} = {A_2} = 12\). Do đó, \(x = y = 12\).
Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là \(144{m^2}\) (khi đó mảnh vườn là hình vuông có cạnh 12m).
Bài 6.24 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 2 yêu cầu giải một bài toán thực tế liên quan đến việc tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Bài toán này thường được giải bằng cách sử dụng hệ phương trình bậc hai.
Trước khi đi vào giải bài toán, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm. Trong bài 6.24, chúng ta được cho tổng và tích của hai số, và yêu cầu tìm hai số đó.
Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp sau:
(Giả sử đề bài cụ thể là: Tìm hai số có tổng bằng 10 và tích bằng 21.)
Giải:
Gọi hai số cần tìm là x và y.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
| Phương trình | Nội dung |
|---|---|
| (1) | x + y = 10 |
| (2) | xy = 21 |
Từ phương trình (1), ta có y = 10 - x.
Thay y = 10 - x vào phương trình (2), ta được:
x(10 - x) = 21
10x - x2 = 21
x2 - 10x + 21 = 0
Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
Trong đó, a = 1, b = -10, c = 21.
Thay các giá trị này vào công thức, ta được:
x = (10 ± √((-10)2 - 4 * 1 * 21)) / (2 * 1)
x = (10 ± √(100 - 84)) / 2
x = (10 ± √16) / 2
x = (10 ± 4) / 2
Vậy, ta có hai nghiệm:
Nếu x1 = 7 thì y1 = 10 - 7 = 3.
Nếu x2 = 3 thì y2 = 10 - 3 = 7.
Vậy, hai số cần tìm là 3 và 7.
Khi giải bài toán này, cần lưu ý một số điểm sau:
Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong việc giải các bài toán về diện tích, chu vi, hoặc trong việc lập mô hình toán học cho các bài toán kinh tế.
Bài 6.24 trang 14 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 2 là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc hai và ứng dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài toán này và các bài toán tương tự.
