Bài 5.33 trang 72 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a//b. Gọi C là một điểm tùy ý thuộc (O), khác A và B. Tiếp tuyến c của (O) tại C cắt a và b lần lượt tại M và N. a) Chứng minh AB là một đường kính của (O). b) Gọi D, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với C, M và N qua tâm O. Chứng minh rằng (D in left( O right),P in b) và (Q in a). c) Chứng minh rằng PQ tiếp xúc với (O) tại D. d) Chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi.
Đề bài
Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a//b. Gọi C là một điểm tùy ý thuộc (O), khác A và B. Tiếp tuyến c của (O) tại C cắt a và b lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh AB là một đường kính của (O).
b) Gọi D, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với C, M và N qua tâm O. Chứng minh rằng \(D \in \left( O \right),P \in b\) và \(Q \in a\).
c) Chứng minh rằng PQ tiếp xúc với (O) tại D.
d) Chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh \(a \bot OA\), \(b \bot OB\) mà a//b nên ba điểm O, A, B thẳng hàng.
+ Lại có: \(OA = OB\) (bán kính của (O)). Do đó, AB là một đường kính của (O).
b) + Chứng minh D thuộc (O).
+ Chứng minh tứ giác AMBP là hình bình hành, suy ra BP//AM, suy ra BP//a. Mà b//a nên đường thẳng \(BP \equiv b\). Khi đó, P thuộc b.
+ Chứng minh tương tự ta có Q thuộc a.
c) + Chứng minh \(\Delta COM = \Delta DOP\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(\widehat {PDO} = \widehat {MCO} = {90^o}\).
+ Chứng minh \(\Delta CON = \Delta DOQ\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(\widehat {QDO} = \widehat {NCO} = {90^o}\).
+ Chứng minh \(\widehat {QDP} = {180^o}\). Suy ra, ba điểm P, D, Q thẳng hàng và PQ là tiếp tuyến của (O) tại D.
d) + Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
+ Chứng minh \(\widehat {AOM} = \widehat {MOC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}\), \(\widehat {BON} = \widehat {NOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\) nên \(\widehat {MOC} + \widehat {NOC} = {90^o}\) nên MP vuông góc với NQ tại O.
+ Hình bình hành MNPQ có đường chéo MP vuông góc với NQ tại O. Do đó, MNPQ là hình thoi.
Lời giải chi tiết
a) Vì a tiếp xúc với (O) tại A hay a là tiếp tuyến của (O) tại A. Do đó, \(a \bot OA\).
Vì b tiếp xúc với (O) tại B hay b là tiếp tuyến của (O) tại B. Do đó, \(b \bot OB\).
Lại có: a//b. Do đó, ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Vì \(OA = OB\) nên AB là đường kính của (O).
b) Vì C thuộc (O) và D đối xứng với C qua O nên do tính đối xứng của đường tròn, suy ra D thuộc (O).
Tứ giác AMBP có: \(OA = OB\), \(OM = OP\) (P đối xứng với M qua O) nên tứ giác AMBP là hình bình hành, suy ra BP//AM. Vì M, A thuộc đường thẳng a nên BP//a.
Mà b//a nên đường thẳng \(BP \equiv b\). Khi đó, P thuộc b.
Chứng minh tương tự ta có Q thuộc a.
c) Tam giác COM và tam giác DOP có: \(OM = OP,OC = OD\) (vì D đối xứng với C qua O), \(\widehat {MOC} = \widehat {POD}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\Delta COM = \Delta DOP\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(\widehat {PDO} = \widehat {MCO} = {90^o}\).
Tương tự ta có: \(\Delta CON = \Delta DOQ\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(\widehat {QDO} = \widehat {NCO} = {90^o}\).
Ta có: \(\widehat {PDO} + \widehat {QDO} = \widehat {QDP} = {180^o}\) nên ba điểm P, D, Q thẳng hàng và PQ là tiếp tuyến của (O) tại D.
d) Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên MNPQ là hình bình hành.
Vì MA và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của (O) nên OM là tia phân giác của góc AOC.
Do đó, \(\widehat {AOM} = \widehat {MOC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}\).
Vì NB và NC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N của (O) nên ON là tia phân giác của góc BOC.
Do đó, \(\widehat {BON} = \widehat {NOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).
Ta có:
\(\widehat {MOC} + \widehat {NOC} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOC} + \widehat {BOC}} \right) \\= \frac{1}{2}{.180^o} = {90^o}.\)
Suy ra \(\widehat {MON} = {90^0}\) nên MP\( \bot \) NQ tại O.
Hình bình hành MNPQ có đường chéo MP vuông góc với NQ tại O.
Do đó, MNPQ là hình thoi.
Bài 5.33 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 yêu cầu giải một bài toán thực tế liên quan đến việc tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Đây là một dạng bài toán quen thuộc, thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.
Đề bài cho: Có hai số, tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng 21. Yêu cầu: Tìm hai số đó.
Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp sau:
Từ phương trình x + y = 10, ta có y = 10 - x. Thay y = 10 - x vào phương trình xy = 21, ta được:
x(10 - x) = 21
10x - x2 = 21
x2 - 10x + 21 = 0
Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
Trong đó: a = 1, b = -10, c = 21
Thay các giá trị này vào công thức, ta được:
x = (10 ± √((-10)2 - 4 * 1 * 21)) / (2 * 1)
x = (10 ± √(100 - 84)) / 2
x = (10 ± √16) / 2
x = (10 ± 4) / 2
Vậy, ta có hai nghiệm:
Khi x = 7, y = 10 - 7 = 3
Khi x = 3, y = 10 - 3 = 7
Vậy, hai số cần tìm là 3 và 7.
Bài 5.33 trang 72 sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 đã được giải quyết bằng phương pháp sử dụng hệ phương trình bậc hai. Việc nắm vững phương pháp này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả.
Ngoài phương pháp sử dụng hệ phương trình bậc hai, bài toán này còn có thể được giải bằng cách sử dụng định lý Viète. Định lý Viète khẳng định rằng, nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, thì:
Trong bài toán này, ta có thể áp dụng định lý Viète để tìm hai số cần tìm. Từ đó, ta có thể thấy rằng, định lý Viète là một công cụ hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.
Để củng cố kiến thức về hệ phương trình bậc hai và định lý Viète, các em có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín.
Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
