Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 9. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 31 trang 115 sách bài tập Toán 9 - Cánh Diều tập 2 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp tối ưu nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hình vuông ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AO (Hình 25). Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm N, M lần lượt thành các điểm N’, M’. a) Chứng minh tam giác BN'M' là tam giác vuông cân. b) Tính tỉ số diện tích tam giác ANM và diện tích tam giác CN'M'. c) Phát biểu “Phép quay thuận chiều 90° tâm N biến điểm O thành điểm M, biến điểm D thành điểm B” là đúng hay sai? Vì sao?
Đề bài
Cho hình vuông ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AO (Hình 25). Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm N, M lần lượt thành các điểm N’, M’.
a) Chứng minh tam giác BN'M' là tam giác vuông cân.
b) Tính tỉ số diện tích tam giác ANM và diện tích tam giác CN'M'.
c) Phát biểu “Phép quay thuận chiều 90° tâm N biến điểm O thành điểm M, biến điểm D thành điểm B” là đúng hay sai? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh BN’ = M’N’ và \(\widehat {BN'M'} = {90^o}\) nên BN'M' là tam giác vuông cân.
Dựa vào phép quay thuận chiều \({\alpha ^o}\) (\({0^o} < {\alpha ^o} < {360^o}\)) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm M (khác điểm O) thành điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM’ thì điểm M tạo nên cung MnM’ có số đo \({\alpha ^o}\).
Dựa vào phép quay thuận chiều \({\alpha ^o}\) (\({0^o} < {\alpha ^o} < {360^o}\)) tâm O được phát biểu tương tự như trên.
Lời giải chi tiết
a) Do phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm N, M lần lượt thành các điểm N’, M’ nên ON = ON’, OM = OM’ và \(\widehat {NON'} = \widehat {MOM'} = {90^o}\).
Do đó các tam giác ONN’ và OMM’ là các tam giác vuông cân tại O.
Do ABCD là hình vuông tâm O nên OA = OB = OC = OD.
Ta có OA = 2ON nên OB = OA = 2ON = 2ON’, do đó N’ là trung điểm của OB.
Suy ra AN = \(\frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}OB = BN'\).
Xét ∆OAB vuông tại O có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên OM = \(\frac{1}{2}AB\), mà AB = BC và OM = OM’ nên \(OM' = \frac{1}{2}BC\).
Xét ∆OBC vuông tại O có \(OM' = \frac{1}{2}BC\) nên OM’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền hay M’ là trung điểm của BC.
Suy ra \(AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = BM'\).
Xét ∆ANM và ∆BN’M’ có:
AN = BN’, \(\widehat {MAN} = \widehat {M'BN'} = {45^o}\), AM = BM’.
Do đó ∆ANM = ∆BN’M’ (c.g.c).
Suy ra MN = M’N’ (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {ANM} = \widehat {BM'N'}\) (hai góc tương ứng).
Xét ∆OAB có N, M lần lượt là trung điểm của AO, AB nên NM là đường trung bình của tam giác, do đó NM // OB và NM = \(\frac{1}{2}OB\).
Ta có MN = M’N’ và BN’ = \(\frac{1}{2}OB\)= NM nên BN’ = M’N’.
Lại có NM // OB và OB ⊥ AO nên NM ⊥ AO hay \(\widehat {ANM} = {90^o}\), suy ra \(\widehat {BN'M'} = {90^o}\)
Tam giác BN’M’ có BN’ = M’N’ và \(\widehat {BN'M'} = {90^o}\)nên là tam giác vuông cân tại N’.
b) Kí hiệu diện tích các tam giác ANM, AOB, CN’M’, CN’B, COB lần lượt là SANM, SAOB, SCN’M’, SCN’B, SCOB. Gọi hN’ là chiều cao kẻ từ N’ đến BC.
Ta có: \({S_{ANM}} = \frac{1}{2}AN.MN = \frac{1}{4}.\left( {\frac{1}{2}OA.OB} \right) = \frac{1}{4}{S_{AOB}}\);
\({S_{CN'M'}} = \frac{1}{2}{h_{N'}}.CM = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{2}{h_{N'}}.BC} \right) = \frac{1}{2}{S_{CN'B}}\)
\({S_{CN'B}} = \frac{1}{2}CO.N'B = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{2}.CO.OB} \right) = \frac{1}{2}{S_{COB}}\).
Suy ra \({S_{CN'M'}} = \frac{1}{2}{S_{CN'B}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}{S_{COB}} = \frac{1}{4}{S_{COB}}\).
Mặt khác, \({S_{AOB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.OC.OB = {S_{COB}}\).
Do đó: \({S_{ANM}} = {S_{CN'M'}}\).
Vậy \({S_{ANM}}:{S_{CN'M'}} = 1\).
c) Ta có AC ⊥ BD tại trung điểm O của BD nên AO là đường trung trực của BC.
Mà N ∈ AC nên ND = NB.
Do đó tam giác NDB cân ở N và dễ thấy rằng \(\widehat {DNB} > {90^o}\).
Suy ra phép quay thuận chiều 90° tâm N không thể biến điểm D thành điểm B.
Vậy phát biểu “Phép quay thuận chiều 90° tâm N biến điểm O thành điểm M, biến điểm D thành điểm B” là sai.
Bài 31 trang 115 sách bài tập Toán 9 - Cánh Diều tập 2 thuộc chương trình học về hàm số bậc nhất. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc nhất để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến việc xác định hàm số, vẽ đồ thị hàm số và ứng dụng hàm số vào việc giải quyết các bài toán hình học.
Bài 31 bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 31 trang 115, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng dạng bài tập:
Để xác định hàm số bậc nhất, ta cần tìm các hệ số a và b trong công thức y = ax + b. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp các thông tin như:
Từ các thông tin này, ta có thể sử dụng các phương pháp sau để tìm a và b:
Để vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, ta thực hiện các bước sau:
Lưu ý: Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến, đồ thị là đường thẳng đi lên. Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến, đồ thị là đường thẳng đi xuống.
Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox, ta cho y = 0 và giải phương trình để tìm x. Tọa độ giao điểm là (x, 0).
Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, ta cho x = 0 và giải phương trình để tìm y. Tọa độ giao điểm là (0, y).
Trong các bài toán hình học, hàm số bậc nhất có thể được sử dụng để:
Ví dụ 1: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-1, 0).
Lời giải: Thay tọa độ của điểm A vào phương trình y = ax + b, ta được: 2 = a(1) + b => a + b = 2 (1)
Thay tọa độ của điểm B vào phương trình y = ax + b, ta được: 0 = a(-1) + b => -a + b = 0 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2), ta được: a = 1, b = 1. Vậy hàm số cần tìm là y = x + 1.
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 9 - Cánh Diều tập 2.
Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài 31 trang 115 sách bài tập Toán 9 - Cánh Diều tập 2. Chúc các em học tập tốt!
