Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập toán 9. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài 7 trang 36 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi sự tư duy logic và vận dụng kiến thức đã học. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng trình bày lời giải một cách rõ ràng, chi tiết, kèm theo các bước giải cụ thể để bạn có thể dễ dàng theo dõi và nắm bắt.
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) b) \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
Đề bài
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
b) \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, tổng độ dài 2 cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Suy ra \({a^2} < a\left( {b + c} \right),{b^2} < b\left( {a + c} \right),{c^2} < c\left( {a + b} \right)\)
Cộng vế với vế ta được điêu cần chứng minh.
b) Chứng minh \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a - b}}\)
(xét hiệu \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\))
Suy ra \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{2}{b}\); \(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{a}\)
Do đó \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).
Lời giải chi tiết
a) Do \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a > 0,b > 0,c > 0,a + b > c,b + c > a,a + c > b\).
Suy ra \({a^2} < a\left( {b + c} \right),{b^2} < b\left( {a + c} \right),{c^2} < c\left( {a + b} \right)\)
Do đó \({a^2} + {b^2} + {c^2} < a\left( {b + c} \right) + b\left( {a + c} \right) + c\left( {a + b} \right)\)
Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
b) Chứng minh \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a - b}}\)
Xét hiệu
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\)\( = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)
\( = \frac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)
Với a,b dương, ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,ab \ge 0,\left( {a + b} \right) \ge 0\) suy ra \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\) hay \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\)
Vậy \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)
Theo kết quả trên, ta có: \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{4}{{\left( {a + b - c} \right) + \left( {b + c - a} \right)}}\)
hay \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} \ge \frac{2}{b}\)
Chứng minh tương tự, ta được \(\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{2}{a}\)
Do đó \(\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{c + a - b}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).
Bài 7 trang 36 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 thuộc chương trình học toán 9, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hàm số bậc nhất và ứng dụng của chúng trong giải quyết các bài toán thực tế. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:
Trước khi bắt tay vào giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Bài 7 trang 36 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 thường yêu cầu chúng ta:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải một ví dụ cụ thể. Giả sử đề bài yêu cầu:
“Một người nông dân có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m). Biết rằng chu vi của mảnh đất là 100m. Hãy biểu diễn chiều rộng y theo chiều dài x và vẽ đồ thị của hàm số đó.”
Theo đề bài, chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là 100m. Ta có công thức tính chu vi hình chữ nhật là: P = 2(x + y). Do đó, ta có phương trình:
2(x + y) = 100
Giải phương trình trên, ta được:
x + y = 50
y = 50 - x
Từ phương trình y = 50 - x, ta thấy đây là một hàm số bậc nhất với a = -1 và b = 50.
Để vẽ đồ thị hàm số y = 50 - x, ta cần xác định hai điểm thuộc đồ thị. Ví dụ, ta có thể chọn:
Nối hai điểm A và B, ta được đồ thị hàm số y = 50 - x.
Ngoài ví dụ trên, bài 7 trang 36 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 còn có nhiều dạng bài tập tương tự khác. Để giải quyết các bài tập này, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Để nắm vững kiến thức về hàm số bậc nhất và ứng dụng của chúng, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các nguồn tài liệu khác. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo các bài giảng trực tuyến hoặc tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên và bạn bè.
Bài 7 trang 36 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số bậc nhất và ứng dụng của chúng. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài tập tương tự.
