Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 53 trang 124 sách bài tập Toán 9 - Cánh diều tập 1. Bài học này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp các em nắm vững phương pháp và tự tin giải các bài tập tương tự. Hãy cùng chúng tôi khám phá lời giải ngay sau đây!
Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C' và B'. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A' (Hình 53). a) Chứng minh AA' là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C). b) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ và diện tích tam giác AB'C'.
Đề bài
Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C' và B'. Đường tròn (B) tiếp xúc với (C) tại A' (Hình 53).
a) Chứng minh AA' là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C).
b) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ và diện tích tam giác AB'C'.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1: Chứng minh A thuộc đường trung trực của BC (do \(AB = AC\)).
Bước 2: Chứng minh \(A'\) thuộc đường trung trực của BC (do\(BA' = CA'\)).
b) Bước 1: Tính \(AA'\): Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \(AA'B\).
Bước 2: Chứng minh \(B'C'//BC\) (áp dụng định lý Thales trong tam giác ABC), từ đó tính được B’C’.
Bước 3: Áp dụng định lý Thales trong tam giác ACA’ để tính AH.
Bước 4: Chứng minh \(AH \bot C'B'\) và tính diện tích tam giác AB’C’.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(AC' = AB' = 10\)cm (bán kính (A)),
\(BC' = BA' = 15\)cm (bán kính (B)),
\(CA' = CB' = 15\)cm (bán kính (C)).
Do \(AB = BC' + AC' = 15 + 10 = 25\)cm và \(AC = CB' + AB' = 15 + 10 = 25\)cm nên \(AB = AC\), do đó A thuộc đường trung trực của BC.
Mà \(BA' = CA' = 15\)cm nên \(A'\) thuộc đường trung trực của BC.
Suy ra \(AA'\) đường trung trực của BC, nên \(AA' \bot BC\) tại A’
Vậy \(AA'\) là tiếp tuyến chung của (B) và (C).
b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AA'B\) có:
\(AA' = \sqrt {A{B^2} - BA{'^2}} = \sqrt {{{25}^2} - 15{'^2}} = 20\)cm.
Gọi H là giao điểm của AA’ và B’C’.
Ta có \(BC = BA' + CA' = 15 + 15 = 30\)cm.
Xét tam giác ABC có \(\frac{{AC'}}{{AB}} = \frac{{AB'}}{{AC}} = \frac{{10}}{{25}}\) nên \(B'C'//BC\) (định lý Thales đảo).
Do đó \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{AB'}}{{AC}}\) hay \(B'C' = \frac{{BC.AB'}}{{AC}} = \frac{{30.10}}{{25}} = 12\)cm.
Xét tam giác ACA’ có \(HB'//CA'\) nên \(\frac{{AH}}{{AA'}} = \frac{{AB'}}{{AC}}\) (định lý Thales) hay \(AH = \frac{{AB'.AA'}}{{AC}} = \frac{{10.20}}{{25}} = 8\)cm.
Ta có \(B'C'//BC,AA' \bot BC\) nên \(B'C' \bot AA'\) hay \(AH \bot C'B'\).
Diện tích tam giác \(AB'C'\) là \(\frac{1}{2}B'C'.AH = \frac{1}{2}.12.8 = 48\)cm2.
Bài 53 trang 124 sách bài tập Toán 9 - Cánh diều tập 1 yêu cầu giải bài toán về việc tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng. Bài toán này là một ứng dụng thực tế của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và tư duy logic.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn và lập hệ phương trình. Cụ thể:
Đề bài: Tìm hai số, biết rằng tổng của chúng bằng 48 và hiệu của chúng bằng 8.
Giải:
Gọi hai số cần tìm là x và y. Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:
{ x + y = 48x - y = 8 }
Sử dụng phương pháp cộng đại số, ta cộng hai phương trình lại với nhau:
(x + y) + (x - y) = 48 + 8
2x = 56
x = 28
Thay x = 28 vào phương trình x + y = 48, ta có:
28 + y = 48
y = 20
Vậy, hai số cần tìm là 28 và 20.
Tổng của hai số là 28 + 20 = 48 (đúng với điều kiện bài toán).
Hiệu của hai số là 28 - 20 = 8 (đúng với điều kiện bài toán).
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài toán hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Khi giải bài toán hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, các em cần chú ý:
Bài 53 trang 124 sách bài tập Toán 9 - Cánh diều tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lời khuyên trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài toán này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
