Định lí Viète là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9, đặc biệt là sách Cánh diều. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành để bạn có thể hiểu sâu sắc và áp dụng thành thạo Định lí Viète.
1. Định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)
1. Định lí Viète
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
Nhận xét:
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) \(\left( {a \ne 0} \right)\): - Nếu \(ac < 0\) thì \(\Delta = {b^2} - 4ac > 0\), do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} + 3572x - 3573 = 0\) có \(a = 1 > 0,c = - 3573 < 0\), suy ra a và c trái dấu. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Định lí Viète là một công cụ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Trong chương trình Toán 9 Cánh diều, định lí này được trình bày một cách rõ ràng và có nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về lý thuyết Định lí Viète và các ứng dụng quan trọng của nó.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0). Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Khi đó:
Đây là hai công thức cơ bản của Định lí Viète, giúp chúng ta liên hệ giữa các hệ số của phương trình bậc hai và các nghiệm của nó.
Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là trong các bài toán sau:
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Hãy tìm tổng và tích của hai nghiệm.
Giải:
Ta có a = 1, b = -5, c = 6. Theo Định lí Viète:
Vậy, tổng hai nghiệm là 5 và tích hai nghiệm là 6.
Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 + 3x - 5 = 0. Hãy xác định dấu của hai nghiệm.
Giải:
Ta có a = 2, b = 3, c = -5. Theo Định lí Viète:
Vì x1 + x2 < 0 và x1.x2 < 0, nên hai nghiệm có dấu trái nhau.
Định lí Viète có thể được mở rộng cho các phương trình bậc cao hơn. Ví dụ, cho phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 (với a ≠ 0) và có ba nghiệm x1, x2, x3. Khi đó:
Tuy nhiên, việc áp dụng Định lí Viète cho các phương trình bậc cao trở nên phức tạp hơn và đòi hỏi kiến thức sâu rộng hơn về toán học.
Để nắm vững lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng của nó, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng Toán 9 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
