Chào mừng các em học sinh đến với bài học về lý thuyết Độ dài cung tròn, Diện tích hình quạt tròn, Diện tích hình vành khuyên trong chương trình Toán 9 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến các khái niệm hình học này.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, công thức tính toán và các ứng dụng thực tế của độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và diện tích hình vành khuyên.
1. Độ dài cung tròn Tỉ số giữa chi vi C của mỗi đường tròn với đường kính d của đường tròn đó là một hằng số, kí hiệu là \(\pi \). Số \(\pi \) là số vô tỉ, cụ thể: \(\pi = 3,1415...\)
1. Độ dài cung tròn
Tỉ số giữa chi vi C của mỗi đường tròn với đường kính d của đường tròn đó là một hằng số, kí hiệu là \(\pi \). Số \(\pi \) là số vô tỉ, cụ thể: \(\pi = 3,1415...\)
- Chu vi đường tròn đường kính d là \(C = \pi d\).
- Chu vi đường tròn bán kính R là \(C = 2\pi R\).
Công thức tính độ dài cung tròn
Trong một đường tròn bán kính R, độ dài của cung tròn có số đo \(n^\circ \) là \(l = \frac{{\pi Rn}}{{180}}\). |
Ví dụ:
Đường tròn (O; 2cm), \(\widehat {AOB} = 60^\circ \).
- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.
Do đó sđ$\overset\frown{AB}=\widehat{AOB}=60{}^\circ $
Độ dài \({l_1}\) của cung AB là:
\({l_1} = \frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi .2.60}}{{180}} = \frac{{2\pi }}{3} \approx 2,1\left( {cm} \right)\)
Cung lớn AnB có số đo là:
sđ$\overset\frown{AmN}=360{}^\circ -60{}^\circ =300{}^\circ $.
Độ dài \({l_2}\) của cung AnB là:
\({l_2} = \frac{{\pi .2.300}}{{180}} = \frac{{10\pi }}{3} \approx 10,5\left( {cm} \right)\)
2. Diện tích hình quạt tròn
Chú ý:
- Hình tròn tâm O bán kính R bao gồm đường tròn (O;R) và tất cả các điểm nằm trong đường tròn đó.
- Diện tích của hình tròn bán kính R là \(S = \pi {R^2}\).
Khái niệm hình quạt tròn
Hình quạt tròn (hay còn gọi tắt là hình quạt) là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó. |
Diện tích hình quạt tròn
Diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung \(n^\circ \): \(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\) |
Nhận xét: Gọi \(l\) là độ dài của cung tròn có số đo \(n^\circ \) thì diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung tròn có số đo \(n^\circ \) là:
\(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi Rn}}{{180}}.\frac{R}{2} = \frac{{lR}}{2}\).
Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là \(l = 4\pi \)cm, bán kính là R = 5cm là:
\({S_q} = \frac{{l.R}}{2} = \frac{{4\pi .5}}{2} = 10\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
3. Diện tích hình vành khuyên
Khái niệm hình vành khuyên
Hình giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm được gọi là hình vành khuyên. |
Diện tích hình vành khuyên
Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O;R) và (O;r) (với R > r) có diện tích là: |
\(S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)\). |
Ví dụ: Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:
\({S_v} = \pi \left( {{5^2} - {3^2}} \right) = 16\pi \left( {{m^2}} \right)\)
Trong chương trình Toán 9, kiến thức về đường tròn đóng vai trò quan trọng, và việc nắm vững lý thuyết về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, công thức và các ví dụ minh họa để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm này.
Định nghĩa: Cung tròn là một phần của đường tròn giới hạn bởi hai điểm trên đường tròn. Độ dài cung tròn là độ dài của đường cong nối hai điểm đó.
Công thức: Độ dài cung tròn l được tính bằng công thức:
l = πrα
Trong đó:
Lưu ý: Nếu góc ở tâm α được tính bằng độ thì cần đổi sang radian trước khi áp dụng công thức. Để đổi từ độ sang radian, ta sử dụng công thức: α (radian) = α (độ) * π / 180
Định nghĩa: Hình quạt tròn là một phần của hình tròn giới hạn bởi hai bán kính và một cung tròn.
Công thức: Diện tích hình quạt tròn S được tính bằng công thức:
S = πr2α / 360 (với α tính bằng độ)
Hoặc:
S = (1/2)r2α (với α tính bằng radian)
Định nghĩa: Hình vành khuyên là phần diện tích nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính khác nhau.
Công thức: Diện tích hình vành khuyên S được tính bằng công thức:
S = πR2 - πr2 = π(R2 - r2)
Trong đó:
Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính 5cm. Tính độ dài cung tròn có góc ở tâm 60o.
Giải:
Đổi 60o sang radian: α = 60 * π / 180 = π/3 radian
Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn: l = πrα = π * 5 * (π/3) = (5π2)/3 cm
Ví dụ 2: Một hình quạt tròn có bán kính 8cm và góc ở tâm 45o. Tính diện tích của hình quạt tròn đó.
Giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn: S = πr2α / 360 = π * 82 * 45 / 360 = 4π cm2
Ví dụ 3: Một hình vành khuyên có bán kính ngoài 10cm và bán kính trong 6cm. Tính diện tích của hình vành khuyên đó.
Giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình vành khuyên: S = π(R2 - r2) = π(102 - 62) = π(100 - 36) = 64π cm2
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Độ dài cung tròn, Diện tích hình quạt tròn, Diện tích hình vành khuyên Toán 9 Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
