Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về Phương trình bậc nhất hai ẩn và Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Toán 9 Cánh diều.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản, các định nghĩa, tính chất quan trọng và phương pháp giải các bài toán liên quan đến chủ đề này.
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng \(ax + by = c\), trong đó a, b và c là các số cho trước, \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\). |
Ví dụ: \(2x + 3y = 4\), \(0x + 2y = 3\), \(x + 0y = 2\) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y: \(ax + by = c\). Nếu \(a{x_0} + b{y_0} = c\) là một khẳng định đúng thì cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của phương trình \(ax + by = c\). |
Ví dụ: Cặp số \(( - 1;2)\) là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì \(2.\left( { - 1} \right) + 3.2 = - 2 + 6 = 4\).
Cặp số \((1;2)\) không là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì
\(2.1 + 3.2 = 2 + 6 = 8 \ne 4\).
Chú ý:
Ta cũng áp dụng được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân đã biết ở phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.
Biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình \(ax + by = c\) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
- Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + 0y = c\left( {a \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ \(\left( {\frac{c}{a};{y_0}} \right)\) \(\left( {{y_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_1}:x = \frac{c}{a}\). Đường thẳng \({d_1}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{a}\) trên trục Ox và vuông góc với trục Ox.
- Mỗi nghiệm của phương trình \(0x + by = c\left( {b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};\frac{c}{b}} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_2}:y = \frac{c}{b}\). Đường thẳng \({d_2}\) là đường thẳng đi qua điểm \(\frac{c}{b}\) trên trục Oy và vuông góc với trục Oy.
- Mỗi nghiệm của phương trình \(ax + by = c\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)\) được biểu diễn bởi một điểm nằm trên đường thẳng \({d_3}:y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\).
Ví dụ:
Nghiệm của phương trình \( - 3x + y = 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y = 3x + 2\).
Nghiệm của phương trình \(0x + y = - 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y = - 2\) vuông góc với Oy tại điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\).
Nghiệm của phương trình \(2x + 0y = 3\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(x = 1,5\) vuông góc với Ox tại điểm \(N\left( {1,5;0} \right)\).
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.(I)\), ở đó mỗi phương trình \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\) đều là phương trình bậc nhất hai ẩn. |
Ví dụ: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 3\\3y = 6\end{array} \right.\) là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ (I). Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó. |
Ví dụ: Cặp số (1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), vì:
\(2x - y = 2.1 - 2 = 0\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ nhất.
\(x + y = 1 + 2 = 3\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ hai.
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số thực và a, b không đồng thời bằng 0. Việc hiểu rõ phương trình bậc nhất hai ẩn là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, đặc biệt là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c, với a, b, c là các số thực và a, b không đồng thời bằng 0.
Nghiệm của phương trình: Một cặp số (x0; y0) được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c nếu ax0 + by0 = c.
Biểu diễn hình học: Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn, được viết dưới dạng:
Nghiệm của hệ phương trình: Một cặp số (x0; y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
Giải: Từ phương trình thứ hai, ta có x = y + 1. Thay vào phương trình thứ nhất, ta được 2(y + 1) + y = 5, suy ra 3y + 2 = 5, do đó y = 1. Thay y = 1 vào x = y + 1, ta được x = 2. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; 1).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
Giải: Cộng hai phương trình, ta được 4x = 8, suy ra x = 2. Thay x = 2 vào phương trình thứ hai, ta được 2 - 2y = 1, do đó 2y = 1, suy ra y = 0.5. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; 0.5).
Các bài toán về phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thường xuất hiện trong các bài toán thực tế như:
Để nắm vững kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, bạn nên luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm thêm các tài liệu tham khảo và bài giảng trực tuyến để mở rộng kiến thức của mình.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
