Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong chương trình Toán 9 Cánh diều tại giaibaitoan.com. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về tỉ số lượng giác, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, các tỉ số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot), và cách ứng dụng chúng vào việc giải tam giác vuông.
1. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn \({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\). \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \).
1. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn
\({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\). \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \). |
Tip học thuộc nhanh:
Sin đi học Cos không hư Tan đoàn kết Cotang kết đoàn |
Ví dụ:
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác, ta có:
\(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\), \(\cot \alpha = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nhận xét: Hai góc nhọn có tổng bằng \({90^0}\) được gọi là hai góc phụ nhau.
Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. Với \({0^0} < \alpha < {90^0}\), ta có: \(\sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cos \alpha \); \(\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \); \(\tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cot \alpha \); \(\cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \tan \alpha \). |
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc phụ nhau, ta có:
\(\sin \alpha = \cos \beta \), \(\cos \alpha = \sin \beta \), \(\tan \alpha = \cot \beta \), \(\cot \alpha = \tan \beta \).
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\sin {60^0} = \cos \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right) = \cos {30^0};\\\cos {52^0}30' = \sin \left( {{{90}^0} - {{52}^0}30'} \right) = \sin {37^0}30';\\\tan {80^0} = \cot \left( {{{90}^0} - {{80}^0}} \right) = \cot {10^0};\\\cot {82^0} = \tan \left( {{{90}^0} - {{82}^0}} \right) = \tan {8^0}.\end{array}\)
Bảng giá trị lượng giác của các góc \({30^0},{45^0},{60^0}\)
Quy ước:
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha = {\left( {\sin \alpha } \right)^2};\\{\cos ^2}\alpha = {\left( {\cos \alpha } \right)^2};\\{\tan ^2}\alpha = {\left( {\tan \alpha } \right)^2};\\{\cot ^2}\alpha = {\left( {\cot \alpha } \right)^2}.\end{array}\)
3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Người ta thường dùng các đơn vị số đo góc là độ (kí hiệu: \(^0\)), phút (kí hiệu: \('\)), giây (kí hiệu: \(''\)).
Ta có thể sử dụng nhiều loại máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn và tính số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của nó.
Lưu ý: ta cần đổi đơn vị đo về độ.
Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn
Để tính tỉ số lượng giác của một góc \(\alpha \), ta dùng các nút:
Để tính \(\cot \alpha \), ta tính \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\) hoặc \(\tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\).
Bảng tóm tắt cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Ví dụ:
Xác định số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó
Bảng tóm tắt cách tính số đo của một góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác
Để tìm \(\alpha \) khi biết \(\cot \alpha \), ta tính \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}\) và dùng \(\tan \alpha \) để tính \(\alpha \).
Ví dụ:
Một số công thức mở rộng:
+) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
+) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
+) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
+) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\cot ^2}\alpha + 1\)
Trong chương trình Toán 9, phần Tỉ số lượng giác của góc nhọn đóng vai trò quan trọng, là nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán hình học và ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi AB = c, AC = b, BC = a. Góc B và góc C là các góc nhọn. Ta định nghĩa:
Tương tự, ta có thể định nghĩa sin, cos, tan, cot của góc C.
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt thường gặp:
| Góc α | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | Không xác định |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | Không xác định | 0 |
Các tỉ số lượng giác của cùng một góc có mối quan hệ mật thiết với nhau:
Tỉ số lượng giác được sử dụng để giải tam giác vuông, tức là tìm các cạnh và góc còn lại khi biết một số cạnh và góc. Cụ thể:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, góc B = 30°. Tính độ dài AC và BC.
Giải:
Ta có: tan B = AC/AB => AC = AB * tan B = 5 * tan 30° = 5/√3 ≈ 2.89cm
cos B = AB/BC => BC = AB/cos B = 5/cos 30° = 5/(√3/2) = 10/√3 ≈ 5.77cm
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 8cm, BC = 10cm. Tính góc B.
Giải:
Ta có: sin B = AC/BC = 8/10 = 0.8 => B = arcsin(0.8) ≈ 53.13°
Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
