Bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau
Đề bài
Cho tam giác \(OAB\) vuông cân, với \(OA = OB = a.\) Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\,\,2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(B,\) \(F\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(D\) và \(G\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(A.\)
- Vẽ hình vuông \(OACB\) và hình chữ nhật \(OAED\)
Lời giải chi tiết
+) Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \) với C là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(OACB\)
Ta có: tứ giác \(OACB\) là hình bình hành
mặt khác \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(A\)
nên tứ giác \(OACB\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
+) Ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \)
Xét \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O\) có:
\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
+) Gọi điểm \(D\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(B\)
\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \) và \(OD = 2a.\)
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \) với \(E\) là điểm thứ tư của hình bình hành \(OAED\)
Ta có: tứ giác \(OAED\) là hình bình hành
Mặt khác \(\widehat {DOA} = {90^ \circ }\)
Nên tứ giác \(OAED\) là hình chữ nhật
Xét hình chữ nhật \(OAED\) có:
\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = \sqrt {O{A^2} + O{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 \)
+) Lấy điểm \(F\) đối xứng với \(B\) qua \(D\) và \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(A\)
\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OG} ,\) \(3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OF} ,\) \(OG = 2a,\)\(OF = 3a\)
Ta có: \(2\overrightarrow {OA} - 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} - \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {FG} \)
Xét \(\Delta OFG\) vuông tại \(O\) có:
\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {FG} } \right| = FG = \sqrt {O{F^2} + O{G^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt {13} \)
Bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về vectơ, các phép toán vectơ và cách áp dụng chúng vào giải quyết vấn đề.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho tam giác ABC, tìm điểm M sao cho...)
Để giải bài 4.14 trang 54, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
(Giải thích chi tiết từng bước, kèm theo các công thức và ví dụ minh họa. Ví dụ: Giả sử A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC). Khi đó, vectơ AB có tọa độ (xB - xA, yB - yA)...)
(Cung cấp một ví dụ tương tự bài 4.14, giải chi tiết để học sinh hiểu rõ hơn về phương pháp giải.)
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Khi giải các bài tập về vectơ, cần lưu ý:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
| Công thức quan trọng | Mô tả |
|---|---|
| AB = B - A | Vectơ AB bằng hiệu tọa độ của điểm B và điểm A |
| a.b = |a||b|cos(θ) | Tích vô hướng của hai vectơ a và b |
