Bài 4.24 trang 58 sách bài tập Toán 10 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M( - 2;1) và N(4;5).
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M( - 2;1)\) và \(N(4;5).\)
a) Tìm tọa độ của điểm \(P\) thuộc \(Ox\) sao cho \(PM = PN.\)
b) Tìm tọa độ của điểm \(Q\) sao cho \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} .\)
c) Tìm tọa độ của điểm \(R\) thỏa mãn \(\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 .\) Từ đó suy ra \(P,\,\,Q,\,\,R\) thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a) Vì điểm \(P\) thuộc \(Ox\) nên tọa độ điểm \(P\) là: \(P(x;0)\)
Ta có: \(PM = PN\,\, \Leftrightarrow \,\,\left| {\overrightarrow {PM} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 5} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{x^2} + 4x + 4 + 1} = \sqrt {{x^2} - 8x + 16 + 25} \\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} + 4x + 5 = {x^2} - 8x + 41\\ \Leftrightarrow \,\,12x = 36\,\, \Leftrightarrow \,\,x = 3\end{array}\)
Vậy \(P(3;0)\)
b) Gọi tọa độ điểm \(Q\) là: \(Q(x;y)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} \,\, \Leftrightarrow \,\,(x + 2;y - 1) = 2(4 - 3;5 - 0)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( {x + 2;y - 1} \right) = (2;10)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 2}\\{y - 1 = 10}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 11}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
Vậy \(Q(0;11)\)
c) Gọi tọa độ điểm \(R\) là: \(R(x;y)\)
Ta có: \(\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \,\,\left( { - 2 - x;1 - y} \right) + 2\left( {4 - x;5 - y} \right) = \left( {0;0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\left( { - 2 - x;1 - y} \right) + \left( {8 - 2x;10 - 2y} \right) = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left( {6 - 3x;11 - 3y} \right) = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - 3x = 0}\\{11 - 3y = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
Vậy \(R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 3;11} \right),\,\,\overrightarrow {PR} = \left( { - 1;\frac{{11}}{3}} \right)\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\overrightarrow {PR} \) cùng phương
\( \Rightarrow \) \(P,\,\,Q,\,\,R\) thẳng hàng
Bài 4.24 trang 58 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết một bài toán hình học cụ thể. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ các yếu tố quan trọng. Thông thường, bài toán sẽ cho một hình vẽ hoặc một mô tả về hình học, và yêu cầu chúng ta tính toán một đại lượng nào đó liên quan đến vectơ, chẳng hạn như độ dài, góc, diện tích, hoặc chứng minh một đẳng thức vectơ.
Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài 4.24 trang 58 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức. (Lưu ý: Vì đề bài cụ thể không được cung cấp, phần này sẽ trình bày một ví dụ minh họa về cách giải một bài toán tương tự.)
Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;4), C(-1;0). Tính độ dài cạnh BC và tìm tọa độ trung điểm M của cạnh BC.
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng trong hệ tọa độ:
BC = √[(xB - xC)2 + (yB - yC)2]
Thay tọa độ B(3;4) và C(-1;0) vào công thức, ta được:
BC = √[(3 - (-1))2 + (4 - 0)2] = √[42 + 42] = √32 = 4√2
Sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:
xM = (xB + xC) / 2
yM = (yB + yC) / 2
Thay tọa độ B(3;4) và C(-1;0) vào công thức, ta được:
xM = (3 + (-1)) / 2 = 1
yM = (4 + 0) / 2 = 2
Vậy, tọa độ trung điểm M của cạnh BC là M(1;2).
Ngoài bài 4.24 trang 58, sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức còn nhiều bài tập tương tự về vectơ và ứng dụng trong hình học. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:
Để giải bài tập về vectơ một cách hiệu quả, bạn cần lưu ý những điều sau:
Bài 4.24 trang 58 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
