Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tam giác ABC
Đề bài
Cho tam giác \(ABC.\)
a) Tìm điểm \(K\) thỏa mãn \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \)
b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\)
Lời giải chi tiết
a) Giả sử tìm được điểm \(K\) thỏa mãn \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), \(J\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có: \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KC} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} } \right) = 2\overrightarrow {KI} + 4\overrightarrow {KJ} \) (1)
Lấy điểm \(P\) trên cạnh \(IJ\) sao cho \(\overrightarrow {PI} + 2\overrightarrow {PJ} = \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(2\overrightarrow {KI} + 4\overrightarrow {KJ} = 2\left( {\overrightarrow {KP} + \overrightarrow {PI} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {KP} + \overrightarrow {PJ} } \right) = 6\overrightarrow {KP} \) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = 6\overrightarrow {KP} \)
Mặt khác \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \) \(6\overrightarrow {KP} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(K \equiv P\)
Vậy điểm \(K\) thuộc cạnh \(IJ\) sao cho \(\overrightarrow {KI} + 2\overrightarrow {KJ} = \overrightarrow 0 \)
b) Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\)
\( \Leftrightarrow \,\,\left| {6\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\,\, \Leftrightarrow \,\,MP = \frac{1}{6}BC\)
\( \Rightarrow \) tập hợp điểm \(M\) cần tìm là đường tròn tâm \(P\), bán kính bằng \(\frac{{BC}}{6}\).
Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về vectơ, các phép toán vectơ và cách áp dụng chúng vào giải quyết vấn đề. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập này:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Tìm vectơ AM theo hai vectơ AB và AC.
Để tìm vectơ AM theo hai vectơ AB và AC, ta sử dụng quy tắc trung điểm và tính chất của vectơ.
Vậy, vectơ AM = 1/2 vectơ AB + 1/2 vectơ AC.
Bài toán này giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách biểu diễn một vectơ qua các vectơ khác, đặc biệt là trong trường hợp sử dụng quy tắc trung điểm. Việc nắm vững quy tắc này sẽ giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán hình học khác một cách dễ dàng hơn.
Giả sử A(0;0), B(2;0), C(0;2). Khi đó, M là trung điểm của BC, nên M có tọa độ là (1;1). Vectơ AB = (2;0), vectơ AC = (0;2), và vectơ AM = (1;1). Ta thấy rằng vectơ AM = 1/2 vectơ AB + 1/2 vectơ AC, tức là (1;1) = 1/2 (2;0) + 1/2 (0;2) = (1;0) + (0;1).
Khi giải các bài toán liên quan đến vectơ, cần chú ý đến chiều của vectơ và các phép toán vectơ. Việc vẽ hình minh họa cũng rất quan trọng để hiểu rõ bài toán và tìm ra lời giải chính xác.
Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán hình học. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này và các bài tập tương tự.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chi tiết, dễ hiểu và hữu ích nhất cho các em học sinh. Hãy truy cập website của chúng tôi để khám phá thêm nhiều bài giải toán 10 khác!
