Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng kiến thức về vectơ vào giải quyết các bài toán hình học.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Hãy cùng khám phá lời giải chi tiết của bài 4.31 này ngay bây giờ!
a) AM vuông góc với DE. b) BE vuông góc với CD. c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A < {90^ \circ }.\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh \(A\) là \(ABD\) và \(ACE.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) theo thứ tự là trung điểm \(BC,\,\,BD,\,\,CE.\) Chứng minh rằng:
a) \(AM\) vuông góc với \(DE.\)
b) \(BE\) vuông góc với \(CD.\)
c) Tam giác \(MNP\) là một tam giác vuông cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {DE} \) xong chứng minh tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE} = 0\)
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {BE} \) và \(\overrightarrow {CD} \) xong chứng minh tích vô hướng \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CD} = 0\)
- Chứng minh \(MN\)//\(CD\) và \(MP\)//\(BE\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {AB.AE.\cos \widehat {BAE} - AC.AD.\cos \widehat {CAD}} \right) = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {DE} \) \( \Rightarrow \) \(AM \bot DE\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AE.AD.\cos \widehat {DAE} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ = AE.AD.\cos \widehat {DAE} + AB.AC.\cos \left( {{{180}^ \circ } - \widehat {DAE}} \right) = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BE} \bot \overrightarrow {CD} \) \( \Rightarrow \) \(BE \bot CD\)
c) Ta có: \(MN\) và \(MP\) lần lượt là đường trung bình của \(\Delta BCD\) và \(\Delta ACE\)
\( \Rightarrow \) \(MN\)//\(CD\) và \(MP\)//\(BE\)
mặt khác \(CD \bot BE\) (cm câu b)
\( \Rightarrow \) \(MN \bot MP\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\)
+
Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta ABE\) ta có:
\(AD = AB\)
\(AC = AE\)
\(\widehat {DAC} = \widehat {BAE} = {90^o} + \widehat {BAC}\)
\( \Rightarrow \Delta ADC = \Delta ABE\) (cạnh góc cạnh)
\( \Rightarrow DC = BE\)
Lại có: \(MN = \frac{1}{2}DC\) (do M, N là trung điểm BD, BC)
\(MP = \frac{1}{2}BE\) (do M, N là trung điểm CB, CE)
\( \Rightarrow MN = MP\)
Vậy tam giác MNP vuông cân tại M.
Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh một số tính chất hình học. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và phân tích các yếu tố quan trọng. Trong bài 4.31, đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến các điểm và vectơ trong một hình bình hành. Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta có thể sử dụng các tính chất của vectơ, chẳng hạn như quy tắc cộng vectơ, quy tắc nhân vectơ với một số, và tính chất của tích vô hướng.
Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = (1/2)overrightarrow{AB} +overrightarrow{AD}
Lời giải:
Vậy, ta đã chứng minh được overrightarrow{AM} = (1/2)overrightarrow{AB} +overrightarrow{AD}.
Bài tập 4.31 là một ví dụ điển hình về việc ứng dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Để nâng cao kỹ năng giải toán, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự, chẳng hạn như:
Hy vọng rằng lời giải chi tiết của bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng kiến thức về vectơ vào giải quyết các bài toán hình học. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Vectơ | Một đoạn thẳng có hướng. |
| Tích vô hướng | Một phép toán giữa hai vectơ cho ra một số. |
| Hình bình hành | Một tứ giác có hai cặp cạnh đối song song. |
