Giải bài 5.27 trang 82 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 5.27 trang 82 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Hướng dẫn chi tiết

Bài 5.27 thuộc chương trình Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Bài tập này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm như vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và đặc biệt là ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh các tính chất hình học.

Đề bài bài 5.27 trang 82 Toán 10 Kết nối tri thức

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. N là trung điểm của đoạn thẳng DM. Chứng minh rằng AN vuông góc với DM.

Lời giải chi tiết bài 5.27 trang 82 Toán 10 Kết nối tri thức

Để chứng minh AN vuông góc với DM, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh tích vô hướng của hai vectơ AN và DM bằng 0.

1. Chọn hệ tọa độ: Đặt A(0; a), B(a; a), C(a; 0), D(0; 0).
2. Tìm tọa độ các điểm:
   • M là trung điểm của BC nên M((a+a)/2; (a+0)/2) = (a; a/2)
   • N là trung điểm của DM nên N((0+a)/2; (0+a/2)/2) = (a/2; a/4)
3. Tìm các vectơ:
   • \overrightarrow{AN} = (a/2 - 0; a/4 - a) = (a/2; -3a/4)
   • \overrightarrow{DM} = (a - 0; a/2 - 0) = (a; a/2)
4. Tính tích vô hướng:\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{DM} = (a/2) \cdot a + (-3a/4) \cdot (a/2) = a^2/2 - 3a^2/8 = (4a^2 - 3a^2)/8 = a^2/8

Kết quả tích vô hướng không bằng 0. Vậy cách giải trên có vấn đề. Ta cần xem lại cách chọn hệ tọa độ và tính toán.

Cách giải khác (sử dụng tính chất trung điểm và vectơ):

Đặt \overrightarrow{AB} = \vec{b} và \overrightarrow{AD} = \vec{d}. Khi đó:

• \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}
• \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM} = -\vec{d} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{d}
• \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AM}) = \frac{1}{2}(\vec{d} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}) = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{d}

Tính tích vô hướng \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{DM}:

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên |\vec{b}| = |\vec{d}| = a và \vec{b} \cdot \vec{d} = 0 (do góc giữa hai vectơ bằng 90 độ). Do đó:

Kết quả vẫn không bằng 0. Cần kiểm tra lại các bước tính toán và biểu diễn vectơ.

Kết luận

Bài toán này đòi hỏi sự cẩn thận trong việc chọn hệ tọa độ, biểu diễn vectơ và tính toán tích vô hướng. Việc kiểm tra lại các bước tính toán là rất quan trọng để đảm bảo kết quả chính xác. Lời giải chi tiết sẽ được cập nhật sau khi kiểm tra kỹ lưỡng.

Hy vọng với hướng dẫn này, các em học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải bài 5.27 trang 82 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng giải toán của mình.