Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 4.18 trang 54, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tam giác ABC đều có trọng tâm O. M là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) đều có trọng tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)
Lời giải chi tiết
Gọi đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\) cắt \(BC,\,\,AC\) lần lượt tại \(G,\,\,J\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(BC\) cắt \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(P,\,\,I\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AC\) cắt \(AB,\,\,BC\) lần lượt tại \(Q,\,\,H\).
Ta có: \(MG\)//\(AB\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MGH} = \widehat {ABC} = {60^ \circ }\)
\(MH\)//\(AC\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MHG} = \widehat {ACB} = {60^ \circ }\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta MHG\) là tam giác đều
Mặt khác \(MD \bot HG\)
\( \Rightarrow \) \(D\) là trung điểm của \(GH\)
\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MH} \) (1)
Chứng minh tương tự ta được: \(2\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} \), \(2\overrightarrow {MF} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MJ} \) (2)
Ta có: tứ giác \(AQMJ,\) \(BPMG,\) \(CIMH\) là hình bình hành
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right) = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MJ} \)
\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MH} } \right) + \left( {\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MG} } \right)\\ = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} \\ = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} \\ = 3\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ = 3\overrightarrow {MO} \end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm)
Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến vectơ trong hình học. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cách giải bài 4.18 trang 54:
Đọc kỹ đề bài và xác định các yếu tố quan trọng: các điểm, vectơ, các mối quan hệ giữa chúng. Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán.
Sử dụng các kiến thức về vectơ đã học để thiết lập các phương trình, hệ phương trình. Giải các phương trình, hệ phương trình để tìm ra các giá trị cần tìm.
Thay các giá trị tìm được vào đề bài để kiểm tra xem kết quả có thỏa mãn các điều kiện của bài toán hay không.
(Giả sử đề bài là: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Tìm vectơ AM theo vectơ AB và AC.)
Lời giải:
Ta có: AM = AB + BM
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = 1/2 BC
Mà BC = AC - AB
Do đó, BM = 1/2 (AC - AB)
Thay vào phương trình ban đầu, ta được:
AM = AB + 1/2 (AC - AB) = 1/2 AB + 1/2 AC
Vậy AM = 1/2 (AB + AC)
Để củng cố kiến thức về vectơ, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Khi giải bài tập về vectơ, các em cần chú ý:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán 10 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
