Bài 7.17 trang 38 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Hãy cùng khám phá lời giải bài 7.17 trang 38 ngay dưới đây!
a) Chứng minh rằng hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d b) Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM
Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;0} \right),B\left( {1; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\)
a) Chứng minh rằng hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d
b) Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABM
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Thay từng điểm A, B vào đường thẳng d. Tích nhận được là số dương thì hai điểm nằm cùng phía với đường thẳng d. Tích nhận được là số âm thì hai đường thẳng nằm khác phía với đường thẳng d.
+ AB cố định, nên chu vi tam giác nhỏ nhất khi MA + MB nhỏ nhất.
Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có \(MA + MB \ge MA' + MB \ge A'B\).
Dấu bằng xảy ra khi \(M = A'B \cap d\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\left( { - 3 + 0 - 1} \right)\left( {1 - 2 - 1} \right) = 8 > 0\) nên hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d
b) AB cố định, nên chu vi tam giác nhỏ nhất khi MA + MB nhỏ nhất.
Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có \(MA + MB \ge MA' + MB \ge A'B\).
Dấu bằng xảy ra khi \(M = A'B \cap d\)
+ Gọi điểm H là chân đường cao hạ từ A đến đường thẳng d, khi đó AH vuông góc với d \( \Rightarrow \overrightarrow {{v_{AH}}} = \overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AH}}} = \left( {1; - 1} \right)\)
+ Phương trình đường thẳng AH đi qua \(A\left( { - 3;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_{AH}}} = \left( {1; - 1} \right)\): \(AH:1\left( {x + 3} \right) - 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Rightarrow AH:x - y + 3 = 0\)
+ \(H = AH \cap d \Rightarrow H:\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;2} \right)\)
+ Điểm A’ đối xứng với A qua d khi đó H là trung điểm của AA’
Suy ra \(A'\left( {2.\left( { - 1} \right) + 3;2.2 - 0} \right) \Rightarrow A'\left( {1;4} \right)\)
+ Viết phương trình đưởng thẳng A’B: \(\overrightarrow {A'B} = \left( {0;6} \right) = \left( {0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {0;1} \right)\)
\(A'B:x - 1 = 0\)
+ \(A'B \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\)
Bài 7.17 yêu cầu chúng ta sử dụng kiến thức về vectơ để chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm của các cạnh trong một hình bình hành. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích bài toán để xác định rõ yêu cầu và tìm ra hướng giải phù hợp. Bài toán yêu cầu chứng minh một đẳng thức vectơ, do đó, chúng ta cần sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ để đưa về một đẳng thức đúng.
Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng AM = DN.
Lời giải:
Khi giải các bài tập về vectơ, bạn cần chú ý những điều sau:
Để nắm vững kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự. Bạn có thể tìm thấy các bài tập này trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hoặc trên các trang web học toán online uy tín như giaibaitoan.com.
Vectơ không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính,... Ví dụ, trong vật lý, vectơ được sử dụng để biểu diễn các đại lượng vật lý có cả độ lớn và hướng, như vận tốc, lực, gia tốc,...
Bài 7.17 trang 38 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý quan trọng trên đây, bạn đã nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
