Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về vectơ và ứng dụng trong hình học.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Hãy cùng khám phá lời giải bài 4.29 trang 65 ngay bây giờ!
Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 1.
Đề bài
Cho tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bằng 1.
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} ,\) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)
b) Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} \)
c) Lấy điểm \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {MP} \) thuộc hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn \(MP.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính đường cao \(AM,\) tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)
- Tính độ dài \(MN\) xong áp dụng định lý Pi-ta-go để tính độ dài cạnh \(AN\)
- Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AN} \)
- Chứng minh \(\overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} \)và \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} \) xong dùng phương pháp biến đổi
- Áp dụng định lý hàm cosin để tính cạnh \(MP\)
Lời giải chi tiết
a) Xét \(\Delta ABC\) đều cạnh bằng 1 có: \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\)
\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {{30}^ \circ }}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{150}^ \circ }}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{4}\)
\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {150^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{ - 3}}{4}\)
b) Ta có: \(MN = CM + CN = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\)
Ta có: \(\widehat {MAN} = {60^ \circ }\)
Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\) có:
\(AN = \sqrt {A{M^2} + M{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 \)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 .\cos {60^ \circ } = \frac{3}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)
c) Ta có: \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\)
Nên \(\overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} } \right) = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AC} - \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} \)
Ta có: \(AP = \frac{3}{4}AN = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow \) \(MP = \sqrt {A{P^2} + A{M^2} - 2AP.AM.\cos \widehat {MAP}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\)
Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết một bài toán hình học cụ thể. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi đi vào giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ các yếu tố quan trọng. Thông thường, bài toán sẽ cho một hình vẽ hoặc một mô tả về hình học, và yêu cầu chúng ta tính toán một đại lượng nào đó liên quan đến vectơ, chẳng hạn như độ dài vectơ, góc giữa hai vectơ, diện tích hình, v.v.
Dưới đây là lời giải chi tiết bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức. Chúng tôi sẽ trình bày lời giải theo từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng để bạn dễ dàng theo dõi và hiểu:
Bước 1: Xác định các vectơ liên quan đến bài toán. Ví dụ, nếu bài toán liên quan đến tam giác ABC, chúng ta có thể xác định các vectơ AB, AC, BC.
Bước 2: Biểu diễn các vectơ theo hệ tọa độ (nếu cần thiết). Nếu bài toán cho tọa độ các điểm, chúng ta có thể dễ dàng tìm được tọa độ của các vectơ.
Bước 3: Sử dụng các phép toán trên vectơ để tính toán các đại lượng cần tìm. Ví dụ, để tính độ dài vectơ AB, chúng ta có thể sử dụng công thức: |AB| = sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2).
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng đáp án của bạn là hợp lý.
Giả sử bài toán yêu cầu tính độ dài vectơ AB, biết A(1; 2) và B(4; 6). Chúng ta có thể giải bài toán như sau:
AB = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)
|AB| = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5
Vậy độ dài vectơ AB là 5.
Để củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hoặc trên các trang web học toán online khác.
Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về vectơ và ứng dụng trong hình học. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết và các mẹo giải bài tập trên đây, bạn sẽ tự tin giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
