Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Toán 9 Chân trời sáng tạo. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho các bài toán phức tạp hơn ở các lớp trên.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, các dạng phương trình, cách giải và ứng dụng của kiến thức này. Bài học này được thiết kế để giúp bạn nắm vững lý thuyết một cách dễ dàng và hiệu quả.
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng (ax + by = c), trong đó a, b và c là các số đã biết (gọi là hệ số), (a ne 0) hoặc (b ne 0).
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng \(ax + by = c\), trong đó a, b và c là các số đã biết (gọi là hệ số), \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\). |
Ví dụ: \(2x + 3y = 4\), \(0x + 2y = 3\), \(x + 0y = 2\) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Nếu giá trị của vế trái tại \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\) bằng vế phải thì cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của phương trình. Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. |
Ví dụ: Cặp số \(( - 1;2)\) là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì \(2.\left( { - 1} \right) + 3.2 = - 2 + 6 = 4\).
Cặp số \((1;2)\) không là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì
\(2.1 + 3.2 = 2 + 6 = 8 \ne 4\).
Biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
- Mỗi nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của phương trình \(ax + by = c\) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ.
- Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) luôn luôn có vô số nghiệm. Tất cả các nghiệm của phương trình đó được biểu diễn bởi một đường thẳng.
Ví dụ:
Nghiệm của phương trình \( - 3x + y = 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y = 3x + 2\).
Nghiệm của phương trình \(0x + y = - 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y = - 2\) vuông góc với Oy tại điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\).
Nghiệm của phương trình \(2x + 0y = 3\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(x = 1,5\) vuông góc với Ox tại điểm \(N\left( {1,5;0} \right)\).
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a'x + b'y = c'\,\,(2)\end{array} \right.\,\,\,\) Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số đã biết (gọi là hệ số), \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\), \(a' \ne 0\) hoặc \(b' \ne 0\). |
Ví dụ: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 3\\3y = 6\end{array} \right.\) là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2) thì \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó. |
Ví dụ: Cặp số (1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), vì:
\(2x - y = 2.1 - 2 = 0\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ nhất.
\(x + y = 1 + 2 = 3\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ hai.
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng tổng quát ax + by = c, trong đó a, b, c là các số thực và a, b không đồng thời bằng 0. x và y là các ẩn số. Việc hiểu rõ dạng phương trình này là bước đầu tiên để giải quyết các bài toán liên quan.
Để một phương trình được gọi là bậc nhất hai ẩn, nó phải thỏa mãn hai điều kiện:
Ví dụ:
Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp số (x0; y0) sao cho khi thay x = x0 và y = y0 vào phương trình, phương trình được nghiệm đúng.
Ví dụ: Xét phương trình 2x + y = 3. Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình vì 2(1) + 1 = 3.
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp hai phương trình bậc nhất hai ẩn, được viết dưới dạng:
{ ax + by = c a'x + b'y = c' }
Nghiệm của hệ phương trình là cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
{ x + y = 5 2x - y = 1 }
Giải:
Từ phương trình x + y = 5, ta có y = 5 - x. Thay vào phương trình 2x - y = 1, ta được:
2x - (5 - x) = 1
2x - 5 + x = 1
3x = 6
x = 2
Thay x = 2 vào y = 5 - x, ta được y = 5 - 2 = 3.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; 3).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
{ 3x + 2y = 7 x - 2y = 1 }
Giải:
Cộng hai phương trình lại, ta được:
(3x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1
4x = 8
x = 2
Thay x = 2 vào phương trình x - 2y = 1, ta được:
2 - 2y = 1
2y = 1
y = 1/2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; 1/2).
Các phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, như:
Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là rất quan trọng để bạn có thể áp dụng kiến thức vào thực tế.
