Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 8 của giaibaitoan.com. Chúng tôi xin giới thiệu đến các em lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 của sách giáo khoa Toán 8, cụ thể là các trang 19, 20, 21, 22, 23 và 24.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Cho
Tính:
a) \({\left( {a + 4} \right)^2}\);
b) \({\left( {2u + 5v} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {a + 4} \right)^2} = {a^2} + 2.a.4 + {4^2} = {a^2} + 8a + 16\)
b) \({\left( {2u + 5v} \right)^2} = {\left( {2u} \right)^2} + 2.2u.5v + {\left( {5v} \right)^2} = 4{u^2} + 20uv + 25{v^2}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right)\)
2. Hãy cho biết: \({\left( {a + b} \right)^2} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) = aa + ab + ab + bb = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
2. Có \({\left( {a + b} \right)^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a) \(16{a^2} + 8a + 1\);
b) \({x^2} + 25{y^2} + 10xy\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Để phân tích biểu thức và viết lại dưới dạng bình phương của một tổng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(16{a^2} + 8a + 1 = {\left( {4a} \right)^2} + 2.4a.1 + {1^2} = {\left( {4a + 1} \right)^2}\)
b) Ta có\({x^2} + 25{y^2} + 10xy = {x^2} + 2.x.5y + {\left( {5y} \right)^2} = {\left( {x + 5y} \right)^2}\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)\).
2. Hãy cho biết \({\left( {a - b} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) = a\left( {a - b} \right) - b\left( {a - b} \right) = {a^2} - ab - ab + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
2. Có \({\left( {a - b} \right)^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Tính:
a) \({\left( {3a - 1} \right)^2}\)
b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Để thực hiện phép tính
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {3a - 1} \right)^2} = {\left( {3a} \right)^2} - 2.3a.1 + {1^2} = 9{a^2} - 6a + 1\)
b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2} = {\left( {4u} \right)^2} - 2.4u.5v + {\left( {5v} \right)^2} = 16{u^2} - 40uv + 25{v^2}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:
a) \({a^2} - 12a + 36\);
b) \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Để viết lại biểu thức dưới dạng bình phương của một hiệu.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \({a^2} - 12a + 36 = {a^2} - 2.a.6 + {6^2} = {\left( {a - 6} \right)^2}\);
b) Ta có \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy = {\left( {5x} \right)^2} - 2.5x.8y + {\left( {8y} \right)^2} = {\left( {5x - 8y} \right)^2}\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\).
2. Hãy cho biết: \({a^2} - {b^2} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = a\left( {a - b} \right) + b\left( {a - b} \right) = {a^2} - ab + ab - {b^2} = {a^2} - {b^2}\)
2. Vậy \({a^2} - {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\)
Tính:
a) \(\left( {2a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right)\)
b)\(\left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( {2a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right) = {\left( {2a} \right)^2} - {1^2} = 4{a^2} - 1\)
b) \(\left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right) = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = 4{x^2} - 25{y^2}\)
Tính nhanh:
a) \(49.51\)
b) \({32^2} - 128 + 4\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để thực hiện phép tính một cách nhanh nhất
Lời giải chi tiết:
a) Ta thấy \(49.51 = \left( {50 - 1} \right)\left( {50 + 1} \right) = {50^2} - {1^2} = 2500 - 1 = 2499\)
b) \({32^2} - 128 + 4 = {32^2} - 144 = {32^2} - {12^2} = \left( {32 - 12} \right)\left( {32 + 12} \right) = 20.44 = 880\)
Cho \(a\) và \(b\)là hai số thực bất kì:
Phương pháp giải:
1. Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng kết hợp với nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép tính.
2. Dựa vào kết quả của ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. \(\left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {a^2}b + 2{a^2}b + 2a{b^2} + a{b^2} + {b^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
2. Có \({\left( {a + b} \right)^3} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
Tính:
a)\({\left( {2a + 3} \right)^3}\)
b)\({\left( {u + 4v} \right)^3}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {2a + 3} \right)^3} = {\left( {2a} \right)^3} + 3.{\left( {2a} \right)^2}.3 + 3.2a{.3^2} + {3^3} = 8{a^3} + 36{a^2} + 54a + 27\)
b) \({\left( {u + 4v} \right)^3} = {u^3} + 3.{u^2}.4v + 3.u.{\left( {4v} \right)^2} + {\left( {4v} \right)^3} = {u^3} + 12{u^2}v + 48u{v^2} + 64{v^3}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \({\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^3}\).
2. Hãy cho biết: \({\left( {a - b} \right)^3} = ?\).
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức kết hợp với sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^3} = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {a - b} \right) = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)\\ = {a^3} - 2{a^2}b + a{b^2} + 2a{b^2} - {a^2}b - {b^3}\\ = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\end{array}\)
2. \({\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}.\)
Tính:
a) \({\left( {a - 3} \right)^3};\)
b) \({\left( {3u - 4v} \right)^3}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^3} = {a^3} - 3.{a^2}.3 + 3.a{.3^2} - {3^3}\\ = {a^3} - 9{a^2} + 27a - 27\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}{\left( {3u - 4v} \right)^3} = {\left( {3u} \right)^3} - 3.{\left( {3u} \right)^2}.4v + 3.3u.{\left( {4v} \right)^2} - {\left( {4v} \right)^2}\\ = 27{u^3} - 108{u^2}v + 144u{v^2} - 64{v^3}\end{array}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right).\)
2. Hãy cho biết \({a^3} + {b^3} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có:
\(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} - {a^2}b + a{b^2} + {a^2}b - a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3}.\)
2. \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)
a) Viết \(8{a^3} + 27\) dưới dạng tích.
b) Viết \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\) dưới dạng tổng.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(8{a^3} + 27 = {\left( {2a} \right)^3} + {3^3} = \left( {2a + 3} \right)\left( {4{a^2} - 6a + 9} \right)\)
b) \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) = {x^3} + 27\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
a) Thực hiện phép tính \(\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)
b) \({a^3} - {b^3} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. \(\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {a^2}b + a{b^2} - {a^2}b - a{b^2} - {b^3} = {a^3} - {b^3}.\)
2. \({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)
a) Tính \(\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 4a + 16} \right).\)
b) Viết \(64{x^3} - 27{y^3}\) dưới dạng tích.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 4a + 16} \right) = {a^3} - {4^3} = {a^3} - 64\)
b) \(64{x^3} - 27{y^3} = {\left( {4x} \right)^3} - {\left( {3y} \right)^3} = \left( {4x - 3y} \right)\left( {16{x^2} - 12xy + 9{y^2}} \right)\)
Một người dùng các thanh kim loại để thiết kế một khung ảnh gồm hai hình vuông lồng vào nhau như Hình 1.10, trong đó ảnh được gắn vào hình vuông nhỏ. Biết rằng tổng chiều dài của các thanh kim loại để làm khung là \(168\,\,cm\) và diện tích phần không gắn ảnh( phần tô màu) là \(252\,\,c{m^2}\). Tính diện tích của phần được gắn ảnh.
Phương pháp giải:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là\(a\) và \(b\)như hình vẽ
Viết biểu thức biểu diễn tổng chiều dài của các thanh kim loại.
Viết biểu thức biểu diễn diện tích phần không gắn ảnh.
Áp dụng các kiến thức đã học để tính diện tích phần tô màu.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là \(a\) và \(b\)như hình vẽ \(\left( {cm,a > b > 0} \right)\)
Theo đề bài tổng độ dài của các thanh kim loại là \(168cm\)nên ta có: \(4a + 4b = 168 \Rightarrow a + b = 42\)(1)
Diện tích phần không gắn ảnh là hiệu diện tích của hình vuông lớn và hình vuông nhỏ và bằng \(252c{m^2}\)nên ta có: \({a^2} - {b^2} = 252 \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 252 \Rightarrow 42.\left( {a - b} \right) = 252 \Rightarrow a - b = 6\)
\( \Rightarrow a = 6 + b\)Thay vào (1) ta có: \(6 + b + b = 42 \Rightarrow 2b = 36 \Rightarrow b = 18 \Rightarrow a = 24\)
Diện tích phần không gắn ảnh là: \(4.\frac{1}{2}ab = 2ab\)\(c{m^2}\)
Có \(2ab = 252\) nên \(ab = 126 \Rightarrow a = \frac{{126}}{b}\)
Thay \(a = \frac{{126}}{b}\)vào (1) ta được \(\begin{array}{l}4.\frac{{126}}{b} + 4b + {\left( {\frac{{126}}{b}} \right)^2} - {b^2} = 168\\ \Rightarrow 504 + 4{b^2} + {126^2} - {b^3}\end{array}\)
Diện tích của phần được gắn ảnh là:
Trong Hình 1.9, diện tích của hình vuông là \(9m - 42m + 49\), với \(m > 3\).
a) Tìm độ dài cạnh hình vuông theo \(m\). Từ đó biểu diễn \(s\)theo \(m\).
b) Tính diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 theo \(m\).
Phương pháp giải:
a) Viết lại biểu thức biểu diễn diện tích hình vuông dưới dạng bình phương của một hiệu. Từ đó suy ra độ dài cạnh của hình vuông đó
b) Viết biểu thức tính diện tích hình chữ nhật theo công thức tính diện tích hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(m > 3\)ta có
\(9{m^2} - 42m + 49 = {\left( {3m} \right)^2} - 2.3m.7 + {7^2} = {\left( {3m - 7} \right)^2}\)
Vậy độ dài cạnh hình vuông là \(3m - 7\)
Vậy \(s = 3m - 7\)
b) Diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là:
\(\left( {s + 3} \right).\frac{1}{2}s = \left( {3m - 7 + 3} \right).\frac{1}{2}\left( {3m - 7} \right) = \frac{1}{2}\left( {3m - 4} \right)\left( {3m - 7} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {9{m^2} - 21m - 12m + 28} \right) = \frac{1}{2}\left( {9{m^2} - 33m + 28} \right) = \frac{9}{2}{m^2} - \frac{{33}}{2}m + 14\)
Vậy diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là \(\frac{9}{2}{m^2} - \frac{{33}}{2}m + 14\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right)\)
2. Hãy cho biết: \({\left( {a + b} \right)^2} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) = aa + ab + ab + bb = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
2. Có \({\left( {a + b} \right)^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
Tính:
a) \({\left( {a + 4} \right)^2}\);
b) \({\left( {2u + 5v} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {a + 4} \right)^2} = {a^2} + 2.a.4 + {4^2} = {a^2} + 8a + 16\)
b) \({\left( {2u + 5v} \right)^2} = {\left( {2u} \right)^2} + 2.2u.5v + {\left( {5v} \right)^2} = 4{u^2} + 20uv + 25{v^2}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a) \(16{a^2} + 8a + 1\);
b) \({x^2} + 25{y^2} + 10xy\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Để phân tích biểu thức và viết lại dưới dạng bình phương của một tổng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(16{a^2} + 8a + 1 = {\left( {4a} \right)^2} + 2.4a.1 + {1^2} = {\left( {4a + 1} \right)^2}\)
b) Ta có\({x^2} + 25{y^2} + 10xy = {x^2} + 2.x.5y + {\left( {5y} \right)^2} = {\left( {x + 5y} \right)^2}\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)\).
2. Hãy cho biết \({\left( {a - b} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có \(\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) = a\left( {a - b} \right) - b\left( {a - b} \right) = {a^2} - ab - ab + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
2. Có \({\left( {a - b} \right)^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Tính:
a) \({\left( {3a - 1} \right)^2}\)
b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Để thực hiện phép tính
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {3a - 1} \right)^2} = {\left( {3a} \right)^2} - 2.3a.1 + {1^2} = 9{a^2} - 6a + 1\)
b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2} = {\left( {4u} \right)^2} - 2.4u.5v + {\left( {5v} \right)^2} = 16{u^2} - 40uv + 25{v^2}\)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:
a) \({a^2} - 12a + 36\);
b) \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Để viết lại biểu thức dưới dạng bình phương của một hiệu.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \({a^2} - 12a + 36 = {a^2} - 2.a.6 + {6^2} = {\left( {a - 6} \right)^2}\);
b) Ta có \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy = {\left( {5x} \right)^2} - 2.5x.8y + {\left( {8y} \right)^2} = {\left( {5x - 8y} \right)^2}\).
Trong Hình 1.9, diện tích của hình vuông là \(9m - 42m + 49\), với \(m > 3\).
a) Tìm độ dài cạnh hình vuông theo \(m\). Từ đó biểu diễn \(s\)theo \(m\).
b) Tính diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 theo \(m\).
Phương pháp giải:
a) Viết lại biểu thức biểu diễn diện tích hình vuông dưới dạng bình phương của một hiệu. Từ đó suy ra độ dài cạnh của hình vuông đó
b) Viết biểu thức tính diện tích hình chữ nhật theo công thức tính diện tích hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(m > 3\)ta có
\(9{m^2} - 42m + 49 = {\left( {3m} \right)^2} - 2.3m.7 + {7^2} = {\left( {3m - 7} \right)^2}\)
Vậy độ dài cạnh hình vuông là \(3m - 7\)
Vậy \(s = 3m - 7\)
b) Diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là:
\(\left( {s + 3} \right).\frac{1}{2}s = \left( {3m - 7 + 3} \right).\frac{1}{2}\left( {3m - 7} \right) = \frac{1}{2}\left( {3m - 4} \right)\left( {3m - 7} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {9{m^2} - 21m - 12m + 28} \right) = \frac{1}{2}\left( {9{m^2} - 33m + 28} \right) = \frac{9}{2}{m^2} - \frac{{33}}{2}m + 14\)
Vậy diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là \(\frac{9}{2}{m^2} - \frac{{33}}{2}m + 14\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\).
2. Hãy cho biết: \({a^2} - {b^2} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = a\left( {a - b} \right) + b\left( {a - b} \right) = {a^2} - ab + ab - {b^2} = {a^2} - {b^2}\)
2. Vậy \({a^2} - {b^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\)
Tính:
a) \(\left( {2a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right)\)
b)\(\left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( {2a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right) = {\left( {2a} \right)^2} - {1^2} = 4{a^2} - 1\)
b) \(\left( {2x + 5y} \right)\left( {2x - 5y} \right) = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = 4{x^2} - 25{y^2}\)
Tính nhanh:
a) \(49.51\)
b) \({32^2} - 128 + 4\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để thực hiện phép tính một cách nhanh nhất
Lời giải chi tiết:
a) Ta thấy \(49.51 = \left( {50 - 1} \right)\left( {50 + 1} \right) = {50^2} - {1^2} = 2500 - 1 = 2499\)
b) \({32^2} - 128 + 4 = {32^2} - 144 = {32^2} - {12^2} = \left( {32 - 12} \right)\left( {32 + 12} \right) = 20.44 = 880\)
Một người dùng các thanh kim loại để thiết kế một khung ảnh gồm hai hình vuông lồng vào nhau như Hình 1.10, trong đó ảnh được gắn vào hình vuông nhỏ. Biết rằng tổng chiều dài của các thanh kim loại để làm khung là \(168\,\,cm\) và diện tích phần không gắn ảnh( phần tô màu) là \(252\,\,c{m^2}\). Tính diện tích của phần được gắn ảnh.
Phương pháp giải:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là\(a\) và \(b\)như hình vẽ
Viết biểu thức biểu diễn tổng chiều dài của các thanh kim loại.
Viết biểu thức biểu diễn diện tích phần không gắn ảnh.
Áp dụng các kiến thức đã học để tính diện tích phần tô màu.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là \(a\) và \(b\)như hình vẽ \(\left( {cm,a > b > 0} \right)\)
Theo đề bài tổng độ dài của các thanh kim loại là \(168cm\)nên ta có: \(4a + 4b = 168 \Rightarrow a + b = 42\)(1)
Diện tích phần không gắn ảnh là hiệu diện tích của hình vuông lớn và hình vuông nhỏ và bằng \(252c{m^2}\)nên ta có: \({a^2} - {b^2} = 252 \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 252 \Rightarrow 42.\left( {a - b} \right) = 252 \Rightarrow a - b = 6\)
\( \Rightarrow a = 6 + b\)Thay vào (1) ta có: \(6 + b + b = 42 \Rightarrow 2b = 36 \Rightarrow b = 18 \Rightarrow a = 24\)
Diện tích phần không gắn ảnh là: \(4.\frac{1}{2}ab = 2ab\)\(c{m^2}\)
Có \(2ab = 252\) nên \(ab = 126 \Rightarrow a = \frac{{126}}{b}\)
Thay \(a = \frac{{126}}{b}\)vào (1) ta được \(\begin{array}{l}4.\frac{{126}}{b} + 4b + {\left( {\frac{{126}}{b}} \right)^2} - {b^2} = 168\\ \Rightarrow 504 + 4{b^2} + {126^2} - {b^3}\end{array}\)
Diện tích của phần được gắn ảnh là:
Cho \(a\) và \(b\)là hai số thực bất kì:
Phương pháp giải:
1. Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng kết hợp với nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép tính.
2. Dựa vào kết quả của ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. \(\left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {a^2}b + 2{a^2}b + 2a{b^2} + a{b^2} + {b^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
2. Có \({\left( {a + b} \right)^3} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^2} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
Tính:
a)\({\left( {2a + 3} \right)^3}\)
b)\({\left( {u + 4v} \right)^3}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \({\left( {2a + 3} \right)^3} = {\left( {2a} \right)^3} + 3.{\left( {2a} \right)^2}.3 + 3.2a{.3^2} + {3^3} = 8{a^3} + 36{a^2} + 54a + 27\)
b) \({\left( {u + 4v} \right)^3} = {u^3} + 3.{u^2}.4v + 3.u.{\left( {4v} \right)^2} + {\left( {4v} \right)^3} = {u^3} + 12{u^2}v + 48u{v^2} + 64{v^3}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \({\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^3}\).
2. Hãy cho biết: \({\left( {a - b} \right)^3} = ?\).
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức kết hợp với sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^3} = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {a - b} \right) = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)\\ = {a^3} - 2{a^2}b + a{b^2} + 2a{b^2} - {a^2}b - {b^3}\\ = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\end{array}\)
2. \({\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}.\)
Tính:
a) \({\left( {a - 3} \right)^3};\)
b) \({\left( {3u - 4v} \right)^3}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^3} = {a^3} - 3.{a^2}.3 + 3.a{.3^2} - {3^3}\\ = {a^3} - 9{a^2} + 27a - 27\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}{\left( {3u - 4v} \right)^3} = {\left( {3u} \right)^3} - 3.{\left( {3u} \right)^2}.4v + 3.3u.{\left( {4v} \right)^2} - {\left( {4v} \right)^2}\\ = 27{u^3} - 108{u^2}v + 144u{v^2} - 64{v^3}\end{array}\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính \(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right).\)
2. Hãy cho biết \({a^3} + {b^3} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có:
\(\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} - {a^2}b + a{b^2} + {a^2}b - a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3}.\)
2. \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)
a) Viết \(8{a^3} + 27\) dưới dạng tích.
b) Viết \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\) dưới dạng tổng.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(8{a^3} + 27 = {\left( {2a} \right)^3} + {3^3} = \left( {2a + 3} \right)\left( {4{a^2} - 6a + 9} \right)\)
b) \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) = {x^3} + 27\)
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực bất kì.
a) Thực hiện phép tính \(\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)
b) \({a^3} - {b^3} = ?\)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. \(\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {a^2}b + a{b^2} - {a^2}b - a{b^2} - {b^3} = {a^3} - {b^3}.\)
2. \({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)
a) Tính \(\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 4a + 16} \right).\)
b) Viết \(64{x^3} - 27{y^3}\) dưới dạng tích.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 4a + 16} \right) = {a^3} - {4^3} = {a^3} - 64\)
b) \(64{x^3} - 27{y^3} = {\left( {4x} \right)^3} - {\left( {3y} \right)^3} = \left( {4x - 3y} \right)\left( {16{x^2} - 12xy + 9{y^2}} \right)\)
Mục 2 của chương trình Toán 8 thường tập trung vào các kiến thức về hình học, đặc biệt là các loại tứ giác. Việc nắm vững các định lý, tính chất của các tứ giác như hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài tập trong mục này.
Trang 19 thường chứa các bài tập về hình bình hành. Để giải các bài tập này, các em cần nắm vững các tính chất cơ bản của hình bình hành như:
Ví dụ, bài tập 1 trang 19 có thể yêu cầu chứng minh một tứ giác là hình bình hành. Để làm điều này, các em có thể sử dụng một trong các dấu hiệu nhận biết hình bình hành như:
Các trang 20, 21, 22 thường tập trung vào các bài tập về hình chữ nhật và hình thoi. Các em cần lưu ý các tính chất đặc biệt của hai loại tứ giác này:
Các bài tập thường yêu cầu tính toán độ dài đường chéo, diện tích của hình chữ nhật và hình thoi. Các em có thể sử dụng định lý Pitago và công thức tính diện tích để giải quyết các bài tập này.
Trang 23 và 24 thường chứa các bài tập về hình vuông và các bài tập tổng hợp về các loại tứ giác. Hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật và hình thoi, do đó các em cần nắm vững các tính chất của cả ba loại tứ giác này.
Các bài tập tổng hợp thường yêu cầu vận dụng kiến thức về các loại tứ giác để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Các em cần phân tích kỹ đề bài, xác định đúng loại tứ giác và sử dụng các tính chất phù hợp để giải quyết bài toán.
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 2 SGK Toán 8. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
