Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức đại số trong chương trình Toán 8. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về phân thức đại số, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, các tính chất cơ bản và ứng dụng của phân thức đại số, đồng thời luyện tập thông qua các ví dụ minh họa cụ thể.
Phân thức có tính chất gì?
1. Tính chất cơ bản của phân thức
Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (M là một đa thức khác đa thức không).
Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (N là một đa thức nhân tử chung).
Ví dụ: Để biến đổi phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) thành \(\frac{{ - 1}}{{x + y}}\), ta chia cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) cho y – x, khi đó \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{ - (y - x)}}{{(y - x)(y + x)}} = \frac{{ - 1}}{{x + y}}\)
2. Rút gọn phân thức
Để rút gọn một phân thức, ta thực hiện như sau:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung (trong một số trường hợp, cần đổi dấu của tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung);
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Lưu ý: Tại giá trị của các biến thỏa mãn điều kiện xác định của một phân thức, giá trị của phân thức đó và của phân thức sau khi rút gọn là như nhau.
Ví dụ: Rút gọn phân thức \(\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2} - 9x}}\) ta được:
\(\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^3} - 9x}} = \frac{{x({x^2} - 6x + 9)}}{{x(x - 3)(x + 3)}} = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x(x - 3)(x + 3)}} = \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\)
Phân thức đại số là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 8, là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn ở các lớp trên. Việc nắm vững lý thuyết và các tính chất cơ bản của phân thức đại số là điều cần thiết để giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả.
Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng P/Q, trong đó P và Q là các đa thức, và Q khác 0. P được gọi là tử số, Q được gọi là mẫu số.
Phân thức P/Q xác định khi và chỉ khi mẫu số Q khác 0. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm các giá trị của biến sao cho Q ≠ 0.
Tính chất cơ bản của phân thức đại số tương tự như tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể:
Tính chất 1: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì phân thức mới bằng phân thức ban đầu. P/Q = (P.M)/(Q.M) (với M là đa thức khác 0)
Tính chất 2: Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì phân thức mới bằng phân thức ban đầu. P/Q = (P:M)/(Q:M) (với M là đa thức khác 0)
Rút gọn phân thức đại số là việc biến đổi phân thức thành một phân thức đơn giản hơn, có tử và mẫu không còn nhân tử chung. Để rút gọn phân thức, ta thực hiện các bước sau:
Quy đồng mẫu thức của các phân thức đại số là việc biến đổi các phân thức thành các phân thức có cùng mẫu thức. Để quy đồng mẫu thức, ta thực hiện các bước sau:
Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số được thực hiện tương tự như các phép toán trên phân số, nhưng cần lưu ý đến điều kiện xác định của phân thức.
Phép cộng và phép trừ: Để cộng hoặc trừ các phân thức, ta cần quy đồng mẫu thức trước. Sau đó, ta cộng hoặc trừ các tử số và giữ nguyên mẫu số.
Phép nhân: Để nhân hai phân thức, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau.
Phép chia: Để chia hai phân thức, ta đổi dấu phân thức thứ hai và thực hiện phép nhân.
Bài 1: Rút gọn phân thức (x2 - 1) / (x + 1)
Giải: Ta có (x2 - 1) / (x + 1) = ((x - 1)(x + 1)) / (x + 1) = x - 1 (với x ≠ -1)
Bài 2: Quy đồng mẫu thức của các phân thức 1/x và 1/(x + 1)
Giải: Mẫu thức chung nhỏ nhất là x(x + 1). Ta có 1/x = (x + 1) / (x(x + 1)) và 1/(x + 1) = x / (x(x + 1))
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức đại số SGK Toán 8. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
