Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phân thức đại số trong chương trình SGK Toán 8 của giaibaitoan.com. Đây là một trong những kiến thức quan trọng, đặt nền móng cho các bài học nâng cao hơn về đại số trong tương lai.
Chúng tôi sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, các tính chất cơ bản, và cách thực hiện các phép toán với phân thức đại số một cách dễ hiểu nhất.
Phân thức đại số là gì?
1. Khái niệm phân thức đại số
Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.
Ví dụ: \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}};\frac{{ab}}{{a + b}};{x^2} + 3x + 2;\sqrt 2 \) là các phân thức đại số.
\(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là phân thức vì \(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là đa thức.
2. Hai phân thức bằng nhau
Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) bằng nhau, kí hiệu là \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) nếu A.D = B.C.
Ví dụ: Hai phân thức \(\frac{{x{y^2}}}{{xy + y}}\) và \(\frac{{xy}}{{x + 1}}\) bằng nhau.
3. Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\)
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.
Để tính giá trị của phân thứctại giá trị cho trước của các biến (thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức), ta thay giá trị các biến vào phân thức rồi thực hiện các phép tính.
Ví dụ: Phân thức P = \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}}\) xác định khi \(x - 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\)
Tại x = 3, \(P = \frac{{3 + 3}}{{3 - 1}} = \frac{6}{2} = 3\)
Phân thức đại số là một biểu thức toán học được hình thành từ hai đa thức, với đa thức ở tử và đa thức ở mẫu, được liên kết bởi phép chia. Hiểu rõ về phân thức đại số là bước quan trọng để giải quyết các bài toán đại số phức tạp hơn ở các lớp trên.
Một phân thức đại số là biểu thức có dạng P(x) / Q(x), trong đó:
Ví dụ: (x + 1) / (x - 2), (3x2 - 5x + 2) / (x2 + 1) là các phân thức đại số.
Một phân thức đại số chỉ có nghĩa khi mẫu thức khác 0. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm các giá trị của x sao cho Q(x) ≠ 0. Việc xác định điều kiện xác định là bước đầu tiên và quan trọng nhất khi làm việc với phân thức đại số.
Ví dụ: Với phân thức (x + 1) / (x - 2), điều kiện xác định là x ≠ 2.
Hai phân thức A/B và C/D được gọi là bằng nhau nếu AD = BC. Điều này có nghĩa là tích chéo của hai phân thức phải bằng nhau.
Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì phân thức mới bằng phân thức ban đầu:
-A/B = A/-B
Để rút gọn một phân thức, ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho một nhân tử chung của chúng. Việc rút gọn phân thức giúp biểu thức trở nên đơn giản hơn và dễ dàng tính toán hơn.
Để cộng hoặc trừ hai phân thức, chúng ta cần quy đồng mẫu thức. Sau khi quy đồng, ta cộng hoặc trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức chung.
Ví dụ: A/B + C/B = (A + C) / B
Để nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau:
(A/B) * (C/D) = (A * C) / (B * D)
Để chia hai phân thức, ta đổi dấu phân thức thứ hai và sau đó nhân hai phân thức:
(A/B) / (C/D) = (A/B) * (D/C) = (A * D) / (B * C)
Hãy cùng xem xét một số bài tập minh họa để hiểu rõ hơn về lý thuyết phân thức đại số:
Lý thuyết phân thức đại số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật, bao gồm:
Hy vọng rằng bài học về Lý thuyết Phân thức đại số SGK Toán 8 này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
