Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) trong chương trình Toán 8. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về hệ số góc, cũng như cách xác định mối quan hệ giữa các đường thẳng dựa trên hệ số góc của chúng.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, ý nghĩa của hệ số góc, cách tính hệ số góc và ứng dụng của nó trong việc xét tính song song, cắt nhau của các đường thẳng.
Hệ số góc của đường thẳng là gì?
1. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a\( \ne \)0)
Cho đường thẳng d: y = ax + b (a\( \ne \)0). M là giao điểm của d với trục hoành, N là điểm thuộc d có tung đô dương. Ta gọi \(\widehat {xMN} = \alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng d với trục Ox.
Tổng quát:
Khi a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a\( \ne \)0) và trục Ox là góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc \(\alpha \) càng lớn.
Khi a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a\( \ne \)0) và trục Ox là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc \(\alpha \) càng lớn.
Định nghĩa:
Hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (hay là hệ số góc của đồ thị hàm số y = ax + b (a \( \ne \) 0)
Ví dụ: Đường thẳng y = 3x – 1 có hệ số góc là 3;
y = 2 – x có hệ số góc là -1.
2. Đường thẳng song song
Hai đường thẳng y = ax + b (a\( \ne \)0) và y = a’x + b’ (a’\( \ne \)0) song song với nhau khi a = a’; b \( \ne \) b’ và ngược lại.
3. Đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng y = ax + b (a\( \ne \)0) và y = a’x + b’ (a’\( \ne \)0) cắt nhau khi a \( \ne \) a’ và ngược lại.
Ví dụ:
Đường thẳng y = -x + 1 và đường thẳng y = -x song song với nhau vì a = a’ = -1, b = 1 \( \ne \) 0 = b’.
Đường thẳng y = -x + 1 và đường thẳng y = 2x + 1 cắt nhau vì a = -1 \( \ne \)2 = a’.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0. Tuy nhiên, để nghiên cứu về tính chất hình học của đường thẳng, ta thường xét phương trình đường thẳng dưới dạng y = ax + b (a ≠ 0). Trong đó, 'a' được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Hệ số góc 'a' của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là giá trị tan của góc α tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox. Công thức: a = tan α. Góc α là góc nhọn tạo bởi đường thẳng và trục Ox.
Hệ số góc 'a' cho biết độ dốc của đường thẳng.
Để xác định hệ số góc của đường thẳng y = ax + b, ta chỉ cần xác định hệ số 'a'. Ví dụ, đường thẳng y = 2x + 1 có hệ số góc là 2.
Hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2 song song với nhau khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 ≠ b2. Nói cách khác, hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số góc và khác nhau về tung độ gốc.
Hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2 cắt nhau khi và chỉ khi a1 ≠ a2. Nói cách khác, hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng có hệ số góc khác nhau.
Hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1 * a2 = -1. Nói cách khác, tích của hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc bằng -1.
Bài 1: Cho hai đường thẳng d1: y = 3x - 2 và d2: y = 3x + 1. Xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng này.
Giải: Vì d1 và d2 có cùng hệ số góc (a = 3) và khác nhau về tung độ gốc (-2 ≠ 1) nên hai đường thẳng này song song với nhau.
Bài 2: Cho hai đường thẳng d1: y = -2x + 5 và d2: y = x - 1. Xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng này.
Giải: Vì d1 và d2 có hệ số góc khác nhau (-2 ≠ 1) nên hai đường thẳng này cắt nhau.
Hệ số góc có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến đường thẳng một cách dễ dàng và hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
| Hệ Số Góc (a) | Đường Thẳng | Mối Quan Hệ |
|---|---|---|
| a > 0 | Đi lên | Góc nhọn với trục Ox |
| a < 0 | Đi xuống | Góc tù với trục Ox |
| a1 = a2, b1 ≠ b2 | y = a1x + b1, y = a2x + b2 | Song song |
| a1 ≠ a2 | y = a1x + b1, y = a2x + b2 | Cắt nhau |
| a1 * a2 = -1 | y = a1x + b1, y = a2x + b2 | Vuông góc |
