Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cộng, trừ các phân thức đại số, một phần quan trọng trong chương trình Toán 8. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức đại số một cách hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi luôn cố gắng mang đến những bài giảng dễ hiểu, bài tập đa dạng và phương pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn chinh phục môn Toán một cách tự tin.
Quy đồng mẫu thức là gì?
1. Quy đồng mẫu thức
- Quy đồng mẫu thức các phân thức là biến đổi chúng thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức ban đầu.
- Mẫu thức của những phân thức mới đó gọi là mẫu thức chung.
Lưu ý:
- Mẫu thức chung thường được chọn là một tích chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức ban đầu.
- Các bước tìm mẫu thức chung:
+ Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử
+ Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:
* Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số của các mẫu dương ở Bước 1 (nếu các nhân tử bằng số của các mẫu thức là các số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng);
* Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa có số mũ cao nhất.
- Cácbước quy đồng mẫu thức các phân thức:
+ Tìm mẫu thức chung
+ Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (là đa thức thỏa mãn tích của nó và mẫu thức bằng mẫu thức chung)
+ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng
2. Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu thức
Quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
\(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}; \frac{A}{B} - \frac{C}{B} = \frac{{A - C}}{B}\)
Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp tương tự như đối với phân số.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\frac{{x + y}}{{xy}} + \frac{{x - y}}{{xy}} = \frac{{x + y + x - y}}{{xy}} = \frac{{2x}}{{xy}} = \frac{2}{y}\\\frac{x}{{x + 3}} + \frac{{2 - x}}{{x + 3}} = \frac{{x + 2 - x}}{{x + 3}} = \frac{2}{{x + 3}}\end{array}\)
3. Cộng hai phân thức khác mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:
\(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}; \left( {\frac{A}{B} + \frac{C}{D}} \right) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + \left( {\frac{C}{D} + \frac{E}{F}} \right)\) , trong đó \(\frac{A}{B};\frac{C}{D};\frac{E}{F}\) là các phân thức bất kì.
4. Trừ hai phân thức khác mẫu (Quy tắc trừ hai phân thức khác mẫu thức)
Muốn trừ phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\), ta cộng \(\frac{A}{B}\) với phân thức đối của \(\frac{C}{D}\)
\(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \left( { - \frac{C}{D}} \right)\)
Ví dụ:
\(\frac{{x + 1}}{{x - 2}} - \frac{{x - 3}}{{x - 2}} = \frac{{x + 1 - x + 3}}{{x - 2}} = \frac{4}{{x - 2}}\)
\(\frac{3}{{2x - 4y}} - \frac{2}{{3x - 6y}} = \frac{3}{{2(x - 2y)}} - \frac{2}{{3(x - 2y)}} = \frac{{3.3}}{{6(x - 2y)}} - \frac{{2.2}}{{6(x - 2y)}} = \frac{{9 - 4}}{{6(x - 2y)}} = \frac{5}{{6(x - 2y)}}\)
5. Quy tắc dấu ngoặc
- Khi bỏ dấu ngoặc mà có dấu “-“ đằng trước thì ta phải đổi dấu tất cả các phân thức trong dấu ngoặc
- Khi bỏ dấu ngoặc mà có dấu “+“ đằng trước thì ta giữ nguyên dấu tất cả các phân thức trong dấu ngoặc
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\left( { - \frac{x}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{2y + x}}{{x + y}}} \right) - \left( {\frac{y}{{x + y}} - \frac{x}{{{x^2} - {y^2}}}} \right)\\ = - \frac{x}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{2y + x}}{{x + y}} - \frac{y}{{x + y}} + \frac{x}{{{x^2} - {y^2}}}\\ = \left( { - \frac{x}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{x}{{{x^2} - {y^2}}}} \right) + \left( {\frac{{2y + x}}{{x + y}} - \frac{y}{{x + y}}} \right)\\ = 0 + \frac{{y + x}}{{x + y}} = 1\end{array}\)
Phân thức đại số là một khái niệm quan trọng trong đại số, và việc hiểu rõ các phép toán cộng, trừ phân thức là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập thực hành để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Một phân thức đại số là biểu thức có dạng P(x) / Q(x), trong đó P(x) là đa thức ở tử và Q(x) là đa thức ở mẫu, với điều kiện Q(x) khác 0.
Phân thức P(x) / Q(x) được xác định khi và chỉ khi mẫu thức Q(x) khác 0. Việc xác định điều kiện xác định là bước quan trọng trước khi thực hiện bất kỳ phép toán nào với phân thức.
Để cộng hoặc trừ các phân thức đại số, ta cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ 1: Cộng hai phân thức
Tính x / (x + 1) + 2 / (x + 1)
Giải:
Vì hai phân thức có cùng mẫu số, ta có:
x / (x + 1) + 2 / (x + 1) = (x + 2) / (x + 1)
Ví dụ 2: Trừ hai phân thức
Tính 1 / (x - 1) - 1 / (x + 1)
Giải:
Mẫu số chung nhỏ nhất là (x - 1)(x + 1). Ta quy đồng mẫu số:
1 / (x - 1) - 1 / (x + 1) = (x + 1) / ((x - 1)(x + 1)) - (x - 1) / ((x - 1)(x + 1))
= (x + 1 - (x - 1)) / ((x - 1)(x + 1)) = 2 / ((x - 1)(x + 1))
Hãy thực hiện các phép tính sau:
Luôn kiểm tra điều kiện xác định của phân thức trước khi thực hiện bất kỳ phép toán nào. Việc quy đồng mẫu số là bước quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả. Rút gọn phân thức sau khi cộng hoặc trừ để có kết quả đơn giản nhất.
Phép cộng, trừ phân thức đại số được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán đại số, đơn giản hóa biểu thức, và tìm nghiệm của phương trình. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp một cách dễ dàng hơn.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết cộng, trừ các phân thức đại số SGK Toán 8. Chúc bạn học tập tốt!
