Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông trong chương trình Toán 8. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về chủ đề này, giúp bạn giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi luôn cố gắng mang đến những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và phù hợp với mọi đối tượng học sinh.
Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông là gì?
1. Trường hợp góc nhọn
Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
\(\begin{array}{l}\Delta ABC,\Delta A'B'C',\widehat A = \widehat {A'} = {90^0},\widehat B = \widehat {B'}\\ \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\,(g.g)\end{array}\)
2. Trường hợp hai cạnh góc vuông
Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
\(\Delta ABC,\Delta A'B'C',\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}},\widehat {A'} = \widehat A = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\,\)(2cgv)
3. Trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng
\(\Delta ABC,\Delta A'B'C',\widehat {A'} = \widehat A = {90^0};\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}.\)
\( \Rightarrow \Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\,\) (ch.cgv)
Chú ý:
- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Nếu với tỉ số đồng dạng k thì \(\frac{{A'H'}}{{AH}} = k\) và \(\frac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = {k^2}\)
Trong chương trình Toán 8, kiến thức về tam giác đồng dạng đóng vai trò vô cùng quan trọng. Đặc biệt, việc nắm vững lý thuyết các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế và nâng cao khả năng tư duy logic.
Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Ký hiệu: ΔABC ~ ΔA'B'C' (đọc là tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C').
Có ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông:
Nếu ΔABC vuông tại A và ΔA'B'C' vuông tại A' mà ∠B = ∠B' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Chứng minh: Sử dụng tổng ba góc trong một tam giác, ta có ∠C = 180° - ∠A - ∠B và ∠C' = 180° - ∠A' - ∠B'. Vì ∠A = ∠A' = 90° và ∠B = ∠B' nên ∠C = ∠C'. Do đó, hai tam giác vuông ΔABC và ΔA'B'C' có hai góc bằng nhau, suy ra chúng đồng dạng.
Nếu ΔABC vuông tại A và ΔA'B'C' vuông tại A' mà \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Chứng minh: Áp dụng định lý cosin trong hai tam giác vuông, ta có thể chứng minh được hai góc nhọn còn lại của hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra hai tam giác đồng dạng.
Nếu ΔABC vuông tại A và ΔA'B'C' vuông tại A' mà \frac{BC}{B'C'} = \frac{AB}{A'B'} thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.
Chứng minh: Sử dụng định lý Pytago, ta có thể tính được cạnh góc vuông còn lại của mỗi tam giác. Sau đó, chứng minh hai tam giác có hai cạnh tương ứng tỉ lệ và góc vuông bằng nhau, suy ra chúng đồng dạng.
Lý thuyết các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông có nhiều ứng dụng trong việc giải toán hình học, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến tính độ dài đoạn thẳng, tính góc và chứng minh các mối quan hệ giữa các yếu tố hình học.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Lấy D trên BC sao cho BD = 1cm. Chứng minh rằng ΔABD ~ ΔCBA.
Hướng dẫn: Tính BC theo định lý Pytago. Sau đó, so sánh tỉ lệ các cạnh của hai tam giác ΔABD và ΔCBA để chứng minh chúng đồng dạng.
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông SGK Toán 8. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.
