Bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 tập 1 thuộc chương 3: Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía để chứng minh tính chất của các góc.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán 8 hiệu quả.
Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC.
Đề bài
Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.
a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân
b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.
c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh: Tứ giác APMR là hình thang có \(\widehat {ABC} = \widehat {APM}\) nên tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Chứng minh: AM = PR ; BM = PQ; MC = PQ nên PR + BM + QR = MA + MB + MC.
c) Vì điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC do đó M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC đều nên \(\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {60^o}\)
Vì PM // BC nên \(\widehat {ABC} = \widehat {APM} = {60^o}\) (hai góc đồng vị)
suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {APM} \)
Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // AP) có \(\widehat {BAC} = \widehat {APM}\)
Do đó tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Vì tứ giác APMR là hình thang cân nên AM = PR (1)
Vì MQ // AC nên \(\widehat {BQM} = \widehat {ACB} = {60^o}\) (hai góc đồng vị)
suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {BQM} \)
Tứ giác BPMQ là hình thang (vì PM // BQ) có \(\widehat {ABC} = \widehat {BQM} \) nên BPMQ là hình thang cân.
Suy ra BM = PQ (2)
Tương tự, tứ giác QMRC là hình thang (vì QM // RC) có \(\widehat {MRC} = \widehat {RCQ}\) (cùng bằng góc BAC) nên QMRC là hình thang cân.
Suy ra MC = QR (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra PR + BM + QR = MA + MB + MC.
Do đó chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC (đpcm).
c) Vì chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC
Để tam giác PQR là tam giác đều thì PQ = QR = PR suy ra MA = MB = MC
Khi đó điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Do đó M là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời M cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).
Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì tam giác PQR là tam giác đều.
Bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 tập 1 yêu cầu chúng ta chứng minh một tính chất quan trọng liên quan đến các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về:
Dưới đây là lời giải chi tiết bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức:
Cho hình vẽ sau (hình vẽ minh họa với hai đường thẳng a và b song song, bị cắt bởi đường thẳng c). Biết góc A1 = 40°. Tính các góc còn lại.
Vì a // b (giả thiết) nên:
Vậy, các góc còn lại lần lượt là: Góc B1 = 40°, Góc B2 = 140°, Góc B3 = 40°, Góc B4 = 140°.
Để hiểu rõ hơn về các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, chúng ta có thể xem xét các ví dụ sau:
Để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, bạn có thể thử giải các bài tập sau:
Bài 3.12 trang 56 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài tập phức tạp hơn trong chương trình Toán 8.
