Bài 3.34 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 thuộc chương 3: Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía để chứng minh tính chất của các góc.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tam giác ABC;
Đề bài
Cho tam giác ABC; M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MP.
a) Hỏi tứ giác AMCP là hình gì? Vì sao?
b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác AMCP là hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Dựa vào các dấu hiệu chứng minh AMCP là hình bình hành
b) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông suy ra:
Hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì tam giác ABC cân tại C
Hình bình hành AMCP là hình thoi thì tam giác ABC vuông tại C
Hình bình hành AMCP là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại C
Lời giải chi tiết
a) Tứ giác AMCP có hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường.
Do đó tứ giác AMCP là hình bình hành.
b) Xét ∆MAN và ∆PCN có:
AN = NC (vì N là trung điểm của AC)
\(\widehat {ANM} = \widehat {CNP}\) (hai góc đối đỉnh)
MN = NP (vì N là trung điểm MP)
Do đó ∆MAN = ∆PCN (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {MAN} = \widehat {PCN}\) (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên suy ra AM // CP nên BM // CP.
Mặt khác, ∆MAN = ∆PCN suy ra AM = CP (hai cạnh tương ứng)
Mà AM = BM (vì M là trung điểm của AB) nên BM = CP.
Tứ giác BMPC có BM // CP và BM = CP nên tứ giác BMCP là hình bình hành.
• Để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì AC = MP.
Mà BC = MP (vì tứ giác BMCP là hình bình hành).
Do đó AC = BC nên tam giác ABC là tam giác cân tại C.
Vây để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì tam giác ABC là tam giác cân tại C.
• Để hình bình hành AMCP là hình thoi thì AM = CM hay \(AM = CM = BM = \frac{{AB}}{2}\)
Tam giác ABC có CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của tam giác ABC.
Mà \(AM = CM = BM = \frac{{AB}}{2}\)
Khi đó tam giác ABC vuông tại C.
Vậy để hình bình hành AMCP là hình thoi thì tam giác ABC vuông tại C.
• Để hình bình hành AMCP là hình vuông thì hình bình hành AMCP là hình chữ nhật có AM = CM (hai cạnh kề bằng nhau).
+ Để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì ABC là tam giác cân tại C (dựa vào phần chứng minh hình bình hành AMCP là hình chữ nhật)
+ Tam giác ABC có AM = CM thì tam giác ABC vuông tại C (dựa vào phần chứng minh hình bình hành AMCP là hình thoi)
Khi đó, tam giác ABC vuông cân tại C.
Vậy để hình bình hành AMCP là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại C.
Bài 3.34 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 yêu cầu chúng ta chứng minh một tính chất quan trọng liên quan đến các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh một tính chất cụ thể. Để làm được điều này, chúng ta cần:
Vẽ hình:
Vẽ hình minh họa bài toán với hai đường thẳng song song a và b bị cắt bởi đường thẳng c. Đánh dấu các góc cần xét.
Chứng minh:
Giả sử đường thẳng a song song với đường thẳng b và bị cắt bởi đường thẳng c tại hai điểm A và B. Gọi các góc tạo thành là ∠A1, ∠A2, ∠A3, ∠A4 trên đường thẳng a và ∠B1, ∠B2, ∠B3, ∠B4 trên đường thẳng b.
Ta cần chứng minh rằng ∠A1 = ∠B1 (hoặc bất kỳ cặp góc so le trong nào khác).
Vì a // b, nên ∠A1 và ∠B1 là hai góc so le trong. Theo tính chất của các góc so le trong, ta có ∠A1 = ∠B1.
Tương tự, ta có thể chứng minh các cặp góc so le trong khác bằng nhau, ví dụ ∠A2 = ∠B2.
Ngoài ra, ta cũng có thể chứng minh các cặp góc đồng vị bằng nhau, ví dụ ∠A1 = ∠B3.
Và chứng minh các cặp góc trong cùng phía bù nhau, ví dụ ∠A1 + ∠B4 = 180°.
Khi giải bài tập về các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng, cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức về các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức hoặc các bài tập trên mạng.
Ví dụ:
Bài 3.34 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự.
