Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác SGK Toán 8 - Kết nối tri thức

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với điểm chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác (D nằm trên BC) thì BD = CD.

1. Định lý về tính chất đường phân giác của tam giác

Định lý: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.

Cụ thể, trong tam giác ABC, với AD là đường phân giác (D thuộc BC), ta có:

AB / AC = BD / DC

2. Hệ quả của định lý về tính chất đường phân giác

Hệ quả 1: Nếu AB / AC = BD / DC thì AD là đường phân giác của góc BAC.

Hệ quả 2: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh là đồng thời là đường cao và đường trung tuyến.

3. Ứng dụng của tính chất đường phân giác trong giải toán

Tính chất đường phân giác được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức, tam giác đồng dạng và các bài toán hình học khác.

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 10cm. AD là đường phân giác của góc BAC (D thuộc BC). Tính BD và DC.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

BD / DC = AB / AC = 6 / 9 = 2 / 3

Mà BD + DC = BC = 10cm. Đặt BD = 2x, DC = 3x, ta có:

2x + 3x = 10

5x = 10

x = 2

Vậy BD = 2x = 4cm và DC = 3x = 6cm.

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác. Tính tỉ số AI/ID (D là trung điểm BC).

Giải:

Ta biết rằng giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp. D là trung điểm BC nên AD là đường trung tuyến. I là giao điểm các đường phân giác nên I nằm trên AD. Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có thể tìm ra tỉ lệ AI/ID. (Bài toán này cần kiến thức về đường tròn nội tiếp và tính chất của tâm đường tròn nội tiếp, vượt quá phạm vi lý thuyết cơ bản về tính chất đường phân giác, nên chỉ đề cập đến cách tiếp cận).

4. Bài tập vận dụng

1. Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 6cm, BC = 12cm. AD là đường phân giác của góc BAC. Tính BD và DC.
2. Cho tam giác MNP có MN = 4cm, NP = 6cm, MP = 5cm. Gọi E là giao điểm của đường phân giác góc M và đường phân giác góc N. Tính tỉ số ME/EQ (Q là trung điểm NP).
3. Chứng minh rằng trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng tính chất đường phân giác, cần xác định đúng đỉnh và cạnh đối diện tương ứng. Đảm bảo rằng đường phân giác xuất phát từ đỉnh và chia cạnh đối diện thành hai đoạn bằng nhau.

Việc nắm vững lý thuyết và thực hành giải các bài tập vận dụng sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về tính chất đường phân giác của tam giác và áp dụng hiệu quả trong các bài toán hình học.